用能量最低原理深度分析岩盐立方晶体的成因
图1 岩盐晶体
1 引言
疫情防控期间，微主与安徽池州一中詹善生老师分享的一道有关晶体形状的热学问题，从力学和能量的角度进行深入的分析研究，探究过程跌宕起伏，精彩纷呈。
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2 试题回放与参考解析
图2 人教版高中物理教科书3-3第37页
教学参考书中给出的参考答案为
图3 人教版高中物理教学参考书3-3第64页
3 对教学参考书中岩盐立方晶体成因的错误辨析
仔细分析如图3所示的参考答案的解析过程，可以发现，参考答案之所以是错误的，是因为它将同种电荷间的斥力当做异种电荷间的引力计算了。
当考虑到同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引之后，可得如图4所示的正确答案为
图4 正确答案
比较FM和FN的值可以发现，岩盐晶体受到敲击时，更容易在与正方形一边平行的方向上断裂。
4 对教学参考书中岩盐立方晶体成因的优化解释
仔细地推敲上述分析思路，还是隐约有一丝不妥。用M、N两个粒子的受力大小来分析岩盐晶体更容易沿着哪一个方向断裂，实际上并不合适。因为正方形边长方向和对角线方向的粒子密度并不一样。
借鉴表面张力的定义方式，比较边长方向和对角线方向上单位长度内的粒子所受引力的和，才更有实际意义。
考虑到正方形对角线与边长的比例关系，易得单位长度内对角和直边两个界面之间的引力分别为
图5 修正答案
比较dF对角和dF直边的值可以发现，岩盐晶体受到敲击时，更容易在与正方形一边平行的方向上断裂。
5 对岩盐立方晶体成因的能量分析
一般而言，衡量一个系统的稳定性，常常从能量的角度出发，高中物理中有很多类似的问题。比如为了讨论原子的稳定性，人们引入了电离能的概念；比如为了讨论原子核的稳定性，人们引入了结合能的概念。
为了分析岩盐晶体沿着哪一个平面断裂，可以从断裂所需要能量的角度入手，比较从不同平面断裂消耗能量的多少。
经过细致计算，M、N两个粒子具有的电势能分别为
图5 粒子能量
考虑到不同方向上的粒子密度不同，单位长度内M、N两种粒子具有的电势能分别为
图6 单位长度内粒子总能量
观察上式可以发现，M粒子的电势能为负值，意味着沿着岩盐晶体对角线切开时，需要对岩盐晶体补充能量；N粒子的电势能为正值，意味着沿着岩盐晶体对直边切开时，岩盐晶体竟然会对放出能量。
如果依照上述数据进行分析，意味着岩盐晶体会自发地沿着正方形直边方向断裂，这一点与实际并不相符，因为岩盐晶体需要敲击才会沿着正方形直边方向断裂。
就岩盐晶体的立方晶体成因解释来讲，力学分析与能量分析并不一致，这说明至少有一种分析是存在问题的。
6 运用能量最低原理分析对岩盐立方晶体的成因
6.1 M粒子的电势能变化规律
在立方晶体的对角线方向，粒子M离开对角线所在平面时，它的电势能表达式如下
图7 M粒子的电势能公式
在几何画板软件中绘制M粒子离开对角线所在平面过程中的电势能变化曲线如下
图8 M粒子的电势能图像
在M粒子离开对角线所在平面过程中的电势能变化曲线中可以看出，M粒子的电势能随着粒子与对角线截面距离的增大而单调递增，M粒子在原位置处的电势能的绝对值，在数值上等于将M粒子移到无穷远处外力需要做的最小功。
6.2 N粒子的电势能变化规律
在立方晶体的直边方向，粒子N离开直边所在平面时，N粒子的电势能表达式如下
图9 N 粒子的电势能公式
在几何画板软件中绘制N粒子离开直边所在平面过程中的电势能变化曲线如下
图10 N粒子的电势能图像
在N粒子离开直边所在平面过程中的电势能变化曲线中可以看出，N粒子的电势能随着粒子与直边截面距离的增大而先增大后减小，极值点出现在晶格正方形边长的0.3倍处，N粒子一旦越过极值点，就会自发地远离直边截面，不再需要外力做功。
N粒子在极值点的电势能最大值与初始位置电势能的差值，在数值上等于将N粒子移到无穷远处外力需要做的最小功。
6.3 M、N粒子解离对应平面所需的最小功
对M、N粒子的电势能公式求导，找出电势能的极值，并将极值与初始值作差，可以得到将M、N粒子从对应面解离所需要的最小功及其比例为
图11 M、N粒子解离需要的最小功
考虑到对角线方向与直边方向粒子的密度不同，则对角线方向与直边方向上解离单位长度内的粒子需要做的最小功及其比例为
图12 对角、直边方向解离单位长度需要的最小功
由上述分析和计算可知，同等条件下，沿对角线解离所需做功是沿直边解离所需做功的25.4倍。
由解离单位长度需要做的最小功的比例，可以发现岩盐晶体在受到撞击的时候，更容易沿着立方形直边方向断裂，导致岩盐晶体在受到撞击解离的时候保持立方体的形状。
图13 岩盐晶体