每日一题331：基于面积分和线积分的曲面面积计算问题类型及计算方法

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习331：分别使用对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分方法求椭圆柱面 位于 面上方和平面 下方部分侧面的面积.

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习331：分别使用对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分方法求椭圆柱面 位于 面上方和平面 下方部分侧面的面积.

【参考解答】：【思路一】对面积的曲面积分计算方法： 曲面分成前后两部分，并记前面部分曲面为，则有

曲面为简单的型积分曲面，并且曲面方程为

投影区域为面上由曲线, , 围成的区域，并且为简单的型积分区域，其中

于是有

令，则

所以

【注】：其中

【思路二】对弧长的曲线积分计算方法： 椭圆柱面在面上的投影线为，其参数方程为

所以有

【注】：此法一般仅适用于母线平行于坐标轴的柱面面积的计算. 以上内容也可以参见高数推文中的对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分内容.