数学方法 | 数形结合（“数学思想方法导引”第26讲/共36讲）

 第26讲 摘要：我国当代著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观，形离数时难入微”，说明数与形相辅相成，在一定条件下可以互相转化。数形结合是数学中常用的思想方法，它是通过数、形间的对应和互助来研究问题并解决问题的方法。借助于数形结合，“形”中的一些量（如距离、角度、面积、体积等）在一定单位制中可分别对应一些确定的“数”；借助于数形结合，也可使一些抽象的概念、复杂的数量关系及其背景图形的性质等变得直观明了。

借“数”解“形”，一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑“形向数'的转化，通过数的运算和变式，求出相应的结果，则解题方法容易寻找。借助于“数”去解决有关“形”的问题，具体地说，在研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数中的恒等变换或解方程得出，解题思路比较明确，规律性强，不像几何证法需要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径。

以“形”助“数”，根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观。

数形结合是研究数学问题并实现问题模型转换的一种基本思想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系。在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，直观又入微，提高数形联想的灵活性,有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力。培养直观想象能力仍然是数学教育的主要任务之一。

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