《九章算術》之穀米間交易問題詳解﹝5﹞
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 HoSai Keung提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，談及粟與其他穀物作等值之轉換，本文著重穀物與穀物間之轉換法。又米與米之間轉換率之比，應等於其相應飯轉換率之比。此卷之問皆屬初等之比例數。關鍵詞：糲飯、飧、熟菽、菽、豉《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換。其意指若以粟米換其他穀物，即以某穀易他穀，則可依本章所提出之率而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交易轉換之意。今以粟米為 50 為標準，他穀之轉換率如下：粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。注意以“粟率五十”為準則，以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”，而所涉及之數是為“今有”，即“今有”之率，亦即《九章算術》所云之轉換率。《九章算術》〈粟米〉之問包括以下三類：1. 粟轉換至其他穀物或飯，2. 其他穀物或飯轉換至粟，3. 其他穀物﹝不包含粟﹞或飯之互相轉換。本文為第 3 類。若粟米為 50 為標準，他穀之轉換率見上表，但作他穀之互相轉換率亦合用，例如糲米三十，可易稗米二十七，或糳米二十四…；稗米二十七，可易糲米三十，或糳米二十四…，其餘類推。粟量固定，能換之米中以御米最少，即以御米為最貴。小䵂與大䵂貴賤頗為懸殊，始料未及。菽、荅、麻、麥在漢代而言，其單位價格可能相近。稗米二十七與御米二十一，稗飯五十四與御飯四十二，兩者之比皆可約成9：7，非常配合，若以此推廣，米與米之間轉換率之比，應等於其相應飯轉換率之比。下左表為糲米、稗米、糳米、御米與其相應飯之比率﹝右表為約簡率﹞：糲米稗米糳米御米糲米稗米糳米御米3027242110987糲飯稗飯糳飯御飯糲飯稗飯糳飯御飯7554484212.5987左表上列數目除以 3，下列數目除以 6，即得右表之約簡率。比較右表上下兩列下降約簡率可知，糲飯約簡率 12.5 過大，即75 之率亦過大，以約簡率 10 為合，即糲飯率應為 60。筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉、《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞、《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3) 及《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞，本文為以上四文之延續。以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法。注意一斗合十升﹞：(8)今有糲飯七斗六升七分升之四，欲為飧。問：得幾何？答曰：為飧九斗一升三十五分升之三十一。術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。解：本題根據已知條件，粟率五十，則可得糲飯七十五或飧九十﹝見前﹞。今已知糲飯量，求所換得之飧，可列成以下之比例表：糲飯之變易飧糲飯率所求率所有率原法9075約簡率65飧及糲飯量xa90：75可以以 15 約簡為 6：5，是為約簡率，以此率作計算。若糲飯量為 a 單位，而所得之飧為 x 單位，依比例算法：x =
，若 a = 76
=
﹝升﹞，即 x =
×
=
= 91
﹝升﹞。91
升 即 9 斗1
升。“六之，五而一。”指乘以 6 及除以 5。李淳風等按曰：淳風等按：飧率九十，為糲飯所求，宜以糲飯乘此率。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。其意指 90：75可以以 15 約簡為 6：5，見上表。答：為飧9 斗1
升。(9)今有菽一斗，欲為熟菽。問：得幾何？答曰：為熟菽二斗三升。術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。解：本題根據已知條件，粟率五十，則可得菽七十五或熟菽九十﹝見前﹞。今已知菽量，求所換得之熟菽，可列成以下之比例表：菽之變易熟菽菽率所求率所有率原法103
45整數率20790約簡率2310熟菽量及菽量xa103
：45可以以 4.5 約簡為 23：10，是為約簡率，以此率作計算。若菽量為 a 單位，而所得之熟菽為 x 單位，依比例算法：x =
，若 a = 10﹝升﹞，即 x =
× 10 = 23﹝升﹞。23 升 即 2 斗3升。“二十三之，十而一。”指乘以 23 及除以 10。李淳風等按曰：淳風等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。其意指 103
：45 可以以 2 乘而得整數率 207：90，再以 9 約簡為 23：10，是為約簡率。答：為熟菽2 斗3升。(10)今有菽二斗，欲為豉。問：得幾何？答曰：為豉二斗八升。術曰：以菽求豉，七之，五而一。解：本題根據已知條件，粟率五十，則可得菽四十五或豉六十三﹝見前﹞。今已知菽量，求所換得之豉，可列成以下之比例表：菽之變易豉菽率所求率所有率原法6345約簡率75豉量及菽量xa63：45可以以 9 約簡為 7：5，是為約簡率，以此率作計算。若菽量為 a 單位，而所得之豉為 x 單位，依比例算法：x =
，若 a = 20﹝升﹞，即 x =
× 20 = 28﹝升﹞。28 升 即 2 斗8升。“七之，五而一。”指乘以 7 及除以 5。李淳風等按曰：淳風等按：豉率六十三，為菽所求，宜以菽乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕其意指63：45可以以 9 約簡為 7：5是為約簡率。答：為豉 2 斗8 升。(11)今有麥八斗六升七分升之三，欲為小䵂。問：得幾何？答曰：為小䵂 二斗五升一十四分升之一十三。術曰：以麥求小䵂，三之，十而一。解：本題根據已知條件，粟率五十，則可得麥四十五或小䵂六十三﹝見前﹞。今已知菽量，求所換得之小䵂，可列成以下之比例表：麥之變易小䵂麥率所求率所有率原法13
45整數率2790約簡率310小䵂量及麥量xa13
：45可以以 4
約簡為 3：10，是為約簡率，以此率作計算。若麥量為 a 單位，而所得之小䵂為 x 單位，依比例算法：x =
，若 a = 86
﹝升﹞，即 x =
×
=
﹝升﹞。
升 即 25
升 ，即 2 斗5
升。“三之，十而一。”指乘以 3 及除以 10。李淳風等按曰：淳風等按：小䵂之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。其意指 13
：45 可以以 2 乘而得整數率 27：90，再以 9 約簡為 3：10，是為約簡率。答：為小䵂 2 斗 5
升。(12)今有麥一斗，欲為大䵂。問：得幾何？答曰：為大䵂一斗二升。術曰：以麥求大䵂，六之，五而一。解：本題根據已知條件，粟率五十，則可得麥四十五或大䵂六十三﹝見前﹞。今已知菽量，求所換得之大䵂，可列成以下之比例表：麥之變易大䵂麥率所求率所有率原法5445約簡率65大䵂量及麥量xa54：45可以以 9 約簡為 6：5，是為約簡率，以此率作計算。若麥量為 a 單位，而所得之大䵂為 x 單位，依比例算法：x =
，若 a = 10﹝升﹞，即 x =
× 10 = 12﹝升﹞。12 升 即 1 斗 2升。“六之，五而一。”指乘以 6 及除以 5。李淳風等按曰：淳風等按：大䵂之率五十有四，合以麥數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得六，所有之率得五也。其意指 54：45 可以以 9 約簡為 6：5，是為約簡率。答：為大䵂 1 斗 2 升。以下為穀物及飯食以 50 為數之轉換率﹝第一欄即《九章算術》所列出之粟率，第二欄以糲米 50 為率，第三欄以稗米 50 為率，其餘類推。﹞：序號123456789主穀粟糲米稗米糳米御米小䵂大䵂糲飯稗飯粟50.0083.3392.59104.17119.05185.1946.3033.3346.30糲米30.0050.0055.5662.5071.43111.1127.7820.0027.78稗米27.0045.0050.0056.2564.29100.0025.0018.0025.00糳米24.0040.0044.4450.0057.1488.8922.2216.0022.22御米21.0035.0038.8943.7550.0077.7819.4414.0019.44小䵂13.5022.5025.0028.1332.1450.0012.509.0012.50大䵂54.0090.00100.00112.50128.57200.0050.0036.0050.00糲飯75.00125.00138.89156.25178.57277.7869.4450.0069.44稗飯54.0090.00100.00112.50128.57200.0050.0036.0050.00糳飯48.0080.0088.89100.00114.29177.7844.4432.0044.44御飯42.0070.0077.7887.50100.00155.5638.8928.0038.89菽、荅、麻、麥45.0075.0083.3393.75107.14166.6741.6730.0041.67稻60.00100.00111.11125.00142.86222.2255.5640.0055.56豉63.00105.00116.67131.25150.00233.3358.3342.0058.33飧90.00150.00166.67187.50214.29333.3383.3360.0083.33熟菽103.50172.50191.67215.63246.43383.3395.8369.0095.83櫱175.00291.67324.07364.58416.67648.15162.04116.67162.04序號11011121314151617主穀粟糳飯御飯四穀稻豉飧熟菽櫱粟50.0052.0859.5255.5641.6739.6827.7824.1514.29糲米30.0031.2535.7133.3325.0023.8116.6714.498.57稗米27.0028.1332.1430.0022.5021.4315.0013.047.71糳米24.0025.0028.5726.6720.0019.0513.3311.596.86御米21.0021.8825.0023.3317.5016.6711.6710.146.00小䵂13.5014.0616.0715.0011.2510.717.506.523.86大䵂54.0056.2564.2960.0045.0042.8630.0026.0915.43糲飯75.0078.1389.2983.3362.5059.5241.6736.2321.43稗飯54.0056.2564.2960.0045.0042.8630.0026.0915.43糳飯48.0050.0057.1453.3340.0038.1026.6723.1913.71御飯42.0043.7550.0046.6735.0033.3323.3320.2912.00菽、荅、麻、麥45.0046.8853.5750.0037.5035.7125.0021.7412.86稻60.0062.5071.4366.6750.0047.6233.3328.9917.14豉63.0065.6375.0070.0052.5050.0035.0030.4318.00飧90.0093.75107.14100.0075.0071.4350.0043.4825.71熟菽103.50107.81123.21115.0086.2582.1457.5050.0029.57櫱175.00182.29208.33194.44145.83138.8997.2284.5450.00