排列组合中的“分组分配”问题详解------让你从“模棱两可”到“从容应对”!!!

不同种元素

分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题。分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组

1

2. 不平均分组

2

3. 部分平均分组

3

分配问题:

如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后分配的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题,需要遵守的原则是:先分组,后分配

同种元素

分组问题:

1

分配问题:

对于同种元素的分配问题,通常有两种解法:常规法和隔板法

常规法:
隔板法:

常规法:

隔板法:

经典练习题

1:将五位老师分到三个学校任教,每个学校至少分一位老师,总共有多少种分法。(答案:150种)

2:有4个不同小球放入4个不同盒子,其中有且只有一个盒子留空,有多少种不同放法?(答案:144种)

3:7个人参加义务劳动,选出6个人,分成2组,每组都是3个人,有多少种不同分法?(答案:70种)

4:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?(答案:84种)

5:现有7个完全相同的小球,将它们全部放入编号为1,2,3的三个盒子中

(1)若每个盒子至少放一个球,共有多少种不同的放法?(答案:15种)

(2)若允许出现空盒,共有多少种不同的放法?(答案:36)

6:现有12个相同的小球,将它们全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的放法有多少种?(答案:10

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