从优美椭圆谈起

刷题中，看到这样一道题：

这道习题比较简单，构造齐次方程，即可求解，在这里不再详细解析。只是我的目光锁定在“优美椭圆”这四个字上，脑海中浮现几年前一次公开课给学生们读的一首小诗。

做一个椭圆的人，
太圆会让人厌恶，
太方容易伤人。
而椭圆恰到好处。

做一个椭圆的人，
气度能大能小，
对不同的人可以有不同的气量。
对小人更多严厉，
对新人则多点谅解。

做一个椭圆的人，
向前滚动得既不太快也不太慢，
走得太快容易摔跤，
走得太慢容易失败。

做一个椭圆的人，
争取当一个离心率e为黄金分割比的优美椭圆，
太趾高气昂容易招怨，
太默默无闻容易被忽略。

做一个椭圆的人，
其实就是追求一种中庸之道，
水满则溢，月盈则亏。

做一个椭圆的人，
也是保持一种适度之美，
凡事不可太过。
中庸即为美。

我们不难得到黄金椭圆的诸多性质，如下：

当然对于这些性质我们是很容易证明的，我们就不再一一证明。如果你有心研究，也可以得到更多黄金椭圆的性质。

对于如此神奇的黄金椭圆，我们不难去想，存不存在某种双曲线也具有类似的性质，与椭圆一样具有简单、统一、对称、和谐的数学美。实际上这样的双曲线是存在的，我们结合黄金分割数以及双曲线离心率的范围，不难得到如下结论：

类比黄金椭圆的性质，已知黄金双曲线的性质，如下：

我们很容易发现黄金椭圆和黄金双曲线有着惊人相似的神奇性质，如此令人入迷的曲线，也一定存在着其他的未被发现的性质，等待着我们来探究。

提起黄金分割比，不得不提提黄金分割矩形，我们把宽和长之比为黄金分割比的矩形成为黄金分割矩形，如下图：

在二维平面，我们截取一个以宽为边长的正方形，剩下的矩形是更小的黄金分割矩形，继续下去，得到“黄金矩形套”。我们用光滑的曲线把所有正方形的顶点连接起来，得到的就是对数螺线或等角螺线。如图：

因为有了这么多的“和谐”，黄金分割矩形被美学界公认为“地球上最具有调和性而美丽的矩形，是科学心理学这个新领域中首批研究的对象之一，无处不在对人的心理起支配作用。”

那么，我们在黄金分割矩形中做出一个最大的椭圆，即椭圆短轴与长轴之比为黄金分割比的椭圆，会是怎样的视觉效果呢？

我们不妨看下图：

再同之前的优美椭圆放到一起，对比

上图中左侧是椭圆短轴与长轴之比为黄金分割比的椭圆，右侧是椭圆焦距与长轴之比为黄金分割比的椭圆，我们很容易看出，这两个差距还是挺大的，就视觉上而言，我们觉得右侧的椭圆，也就是我们谈到的焦距与长轴之比为黄金分割比的椭圆，也叫做优美椭圆或者黄金椭圆，似乎更“圆”一些，但是缺少了一些“椭”的韵味。反而左侧的椭圆，也就是椭圆短轴与长轴之比为黄金分割比的椭圆，似乎在视觉上显得更完美一些！

有些资料上称这类椭圆，也就是椭圆焦距与长轴之比为黄金分割比的椭圆为亚黄金椭圆，那么这类亚黄金椭圆又有什么性质，我们可以很轻松证明：

当然对于黄金椭圆和亚黄金椭圆以及黄金双曲线的性质远远布置这些，还有更多的性质有待于我们继续取挖掘和探究，让我们理解它们的性质，欣赏它们的美吧！

最后，有必要说一下，你能总结出亚黄金双曲线的定义和性质吗？

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