初中数学:9大重要几何模型
成才路上
奥数国家级教练与四名特级
教师联手执教。
需要电子打印版参见文末:阅读原文
重要几何模型1--半角模型
倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形
如图①:
(1)∠2=1/2∠AOB;(2)OA=OB。
如图②:
连接 FB,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F′E、FE,可得△OEF′≌△OEF。
如图.在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=1/2∠BAD,求证:EF=BE﹣FD.
【分析】在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG=AF,∠BAG=∠DAF,根据∠EAF =1/2∠BAD,可知∠GAE=∠EAF,可证明△AEG≌△AEF,EG=EF,那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF.
【解析】证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
在△ABG和△ADF中,
易证△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1/2∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
在△AEG和△AEF中,
易证△AEG≌△AEF(SAS).
∴EG=EF,
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD.
问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.
方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;
问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.
【分析】(1)在AC上截取CD=AN,连接OD,证明△CDO≌△ANO,根据全等三角形的性质得到OD=ON,∠COD=∠AON,证明△DMO≌△NMO,得到DM=MN,结合图形证明结论;
(2)在AC延长线上截取CD=AN,连接OD,仿照(1)的方法解答.
【解析】解:(1)CM=AN+MN,
理由如下:在AC上截取CD=AN,连接OD,
∵△ABC为等边三角形,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴OA=OC,
在△CDO和△ANO中,
易证△CDO≌△ANO(SAS)
∴OD=ON,∠COD=∠AON,
∵∠MON=60°,
∴∠COD+∠AOM=60°,
∵∠AOC=120°,
∴∠DOM=60°,
在△DMO和△NMO中,
易证△DMO≌△NMO,
∴DM=MN,
∴CM=CD+DM=AN+MN;
(2)补全图形如图2所示:
CM=MN﹣AN,
理由如下:在AC延长线上截取CD=AN,连接OD,
在△CDO和△ANO中,
易证△CDO≌△ANO(SAS)
∴OD=ON,∠COD=∠AON,
∴∠DOM=∠NOM,
在△DMO和△NMO中,
易证△DMO≌△NMO(SAS)
∴MN=DM,
∴CM=DM﹣CD=MN﹣AN.
如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.
(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;
(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;
(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CN=CD=6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.
分析
已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:AH=AB;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)
【分析】(1)由三角形全等可以证明AH=AB,
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,
(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
(1)如图1,将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交BC于E,交CD于F,连接EF.若∠EAF=45°,BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6=0的两根,请直接写出EF的长;
(2)如图2,将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交CB的延长线于E,交DC的延长线于F,连接EF.若AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,∠EAF∠BAD,请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的前提下,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长.
①EF的长为:5;
②数量关系:EF=DF﹣BE.
【分析】(1)先证明△ABE≌△ADM,再证明△AEF≌△AMF,得到EF=DF+BE即可;
(2)先证明△ADM≌△ABE,再证明△EAF≌△MAF,即可;
(3)直接计算△CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15.
(3)由上面的结论知:DF=EF+BE;
∵BC=4,DC=7,CF=2,
∴DF=CD+CF=9
∴△CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15.
即△CEF的周长为15.
①EF=DF﹣BE=FC+CD﹣BE=5
②和(2)方法一样,EF=DF﹣BE.
故答案为EF=DF﹣BE.
重要几何模型2--将军饮马模型
重要几何模型3--弦图模型
弦图模型,包含两种模型:内弦图模型和外弦图模型.
(一)内弦图模型:如图,在正方形ABCD中,AE⊥BF于点E,BF⊥CG于点F,CG⊥DH于点G,DH⊥AE于点H,则有结论:△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.
外弦图模型:如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的点,且四边形EFGH是正方形,则有结论:△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.
例题1. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG,连接EG,若AB=12,BC=16,求△AEG的面积.
变式练习>>>
1.如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD上,连接CE,以CE为边作正方形CEFG,点D,F在直线CE的同侧,连接BF,若AE=1,求BF的长.
例题2. 如图,以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF,该正方形的中心为点O,连接AO.若AB=4,AO=6倍根号2,求AC的长.
变式练习>>>
2.如图,点A,B,C,D,E都在同一条直线上,四边形X,Y,Z都是正方形,若该图形总面积是m,正方形Y的面积是n,则图中阴影部分的面积是___________.
例题3. 如图,在△ABC中,∠BAC=45°,D为△ABC外一点,满足∠CBD=90°,BC=BD,若三角形ADC面积为4.5,求AC的长.
变式练习>>>
3.点P是正方形ABCD外一点,PB=10cm,△APB的面积是60cm2,△CPB的面积是30cm2.求正方形ABCD的面积.
例题4. 在边长为10的正方形ABCD中,内接有6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,求这六个小正方形的面积.
例题5. 如图,在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中,∠AXB=∠DCE=90°,连接AD,BE,点I在AD上,
(1)若IC⊥BE,求证:I为AD中点;
(2)若I为AD中点,求证:IC⊥BE
例题6. 在平面直角坐标系中,直线l的解析式为y=2x+b,其与x轴交于点A,与y轴交于点B,在直线l移动的过程中,直线y=4上是否存在点P,使得△PAB是等腰直角三角形,若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标,如不存在,请说明理由.
1.我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这是著名的赵爽弦图(如图1).它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案.在弦图中(如图2),已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点,对角线BD分别交AH,CF于点P、Q.在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M,N,且MN经过点O,若MH=3ME,BD=2MN=4根号5.则△APD的面积为多少.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG,EG.(正方形的各边都相等,各角均为90°)
(1)判断CE与BG的关系,并说明理由;
(2)若BC=3,AB=5,则AEG面积等于多少.
重要几何模型4--费马点模型
费马点的定义:数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的:
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;
2. 如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。
费马点的性质:费马点有如下主要性质:
1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解:
费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.
秘诀:以△ABC任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值
例题1. 已知:△ABC是锐角三角形,G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.
求证:GA+GB+GC的值最小.
变式练习>>>
1.如图,点P是三角形边长为1的等边内的任意一点,求PA+PB+PC的取值范围.
注 本题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试.
变式练习>>>
2.若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4, 求PB的值.
例题3. 如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l,求l的最小值.
变式练习>>>
3.如图,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点A,D为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道PA,PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元,当M,P建在何处时,修建专用车道的费用最少?最少费用为多少?(结果保留整数)
例题4. 如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、
B两点,且与x轴交于另一点C.
(1)求b、c的值;
(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;
(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR
①求证:PG=RQ;
②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.
重要几何模型5--隐圆模型
1.触发隐圆模型的类型
(1)动点定长模型
(2)直角圆周角模型
(3)定弦定角模型
(4)四点共圆模型①
(5)四点共圆模型②
2.圆中旋转最值问题
例题1. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN,连接A`C,则A`C长度的最小值是__________.
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,可得MA’=MA=1,所以A’轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A’,此时A’C的值最小.构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去A’M即可,答案为根号7减去1
变式练习>>>
如图,在直角三形ABC中,
∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__________.
【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.过F点作FH⊥AB,与圆的交点即为所求P点,此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.答案为1.2.
例题2. 如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.
变式练习>>>
2.如图,矩形ABCD
中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是_________.
例题3. 如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________.
变式练习>>>
3.如图,Rt△ABC
中,AB⊥BC,AB=8,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是_________.
重要几何模型6--胡不归模型
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:(1)胡不归问题;(2)阿氏圆.
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使
的值最小.
【问题分析】
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k,即CH/AC=K,CH=kAC.
将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.
重要几何模型7--阿氏圆模型
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.
重要几何模型8--角含半角模型
角含半角模型,顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含:等腰直角三角形角含半角模型;正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一:等腰直角三角形角含半角模型
类型二:正方形中角含半角模型
重要几何模型9--共顶点手拉手模型
共顶点模型,亦称“手拉手模型”,是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合,两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下:
(1)寻找公共的顶点
(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边
(3)将两组相等的边分别分散到两个三角形中去,证明全等或相似即可。