初中数学:9大重要几何模型

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文章来源:王通博初中数学,ID:wtbmaths

重要几何模型1--半角模型

模型特点

倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

如图①:

(1)∠2=1/2∠AOB;(2)OA=OB。

如图②:

连接 FB,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F′E、FE,可得△OEF′≌△OEF。

典型例题1

如图.在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,ABADEF分别是边BCCD延长线上的点,且∠EAF=1/2BAD,求证:EFBEFD

【分析】在BE上截取BG,使BGDF,连接AG.根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AGAF,∠BAG=∠DAF,根据∠EAF =1/2BAD,可知∠GAE=∠EAF,可证明△AEG≌△AEFEGEF,那么EFGEBEBGBEDF

【解析】证明:在BE上截取BG,使BGDF,连接AG

∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,

∴∠B=∠ADF

在△ABG和△ADF中,

易证△ABG≌△ADFSAS),

∴∠BAG=∠DAFAGAF

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1/2BAD

∴∠GAE=∠EAF

在△AEG和△AEF中,

易证△AEG≌△AEFSAS).

EGEF

EGBEBG

EFBEFD

典型例题2

问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点MN分别在直线ACAB上,且∠MON=60°,猜想CMMNAN三者之间的数量关系.

方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;

小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;

问题解决:(1)如图1,MN分别在边ACAB上时,探索CMMNAN三者之间的数量关系,并证明;

(2)如图2,M在边AC上,点NBA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CMMNAN三者之间的数量关系,并证明.

【分析】(1)在AC上截取CDAN,连接OD,证明△CDO≌△ANO,根据全等三角形的性质得到ODON,∠COD=∠AON,证明△DMO≌△NMO,得到DMMN,结合图形证明结论;

(2)在AC延长线上截取CDAN,连接OD,仿照(1)的方法解答.

【解析】解:(1)CMAN+MN

理由如下:在AC上截取CDAN,连接OD

∵△ABC为等边三角形,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O

∴∠OAC=∠OCA=30°,

OAOC

在△CDO和△ANO中,

易证△CDO≌△ANOSAS

ODON,∠COD=∠AON

∵∠MON=60°,

∴∠COD+∠AOM=60°,

∵∠AOC=120°,

∴∠DOM=60°,

在△DMO和△NMO中,

易证△DMO≌△NMO

DMMN

CMCD+DMAN+MN

(2)补全图形如图2所示:

CMMNAN

理由如下:在AC延长线上截取CDAN,连接OD

在△CDO和△ANO中,

易证CDO≌△ANOSAS

ODON,∠COD=∠AON

∴∠DOM=∠NOM

在△DMO和△NMO中,

易证DMO≌△NMOSAS

MNDM

CMDMCDMNAN

典型例题3

如图,在正方形ABCD中,MN分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.

(1)如图1,当点MN分别在线段BCDC上时,请直接写出线段BMMNDN之间的数量关系;

(2)如图2,当点MN分别在CBDC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;

(3)如图3,当点MN分别在CBDC的延长线上时,若CNCD=6,设BDAM的延长线交于点P,交ANQ,直接写出AQAP的长.

分析

典型例题4-5

已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CBDC(或它们的延长线)于点MNAHMN于点H

(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BMDN时,请你直接写出AHAB的数量关系:AHAB

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BMDN时,(1)中发现的AHAB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;

(3)如图③,已知∠MAN=45°,AHMN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

【分析】(1)由三角形全等可以证明AHAB

(2)延长CBE,使BEDN,证明△AEM≌△ANM,能得到AHAB

(3)分别沿AMAN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BMDN交于点C,得正方形ABCE,设AHx,则MCx﹣2,NCx﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x

典型例题6

(1)如图1,将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交BCE,交CDF,连接EF.若∠EAF=45°,BEDF的长度是方程x2﹣5x+6=0的两根,请直接写出EF的长;

(2)如图2,将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交CB的延长线于E,交DC的延长线于F,连接EF.若ABAD,∠ABC与∠ADC互补,∠EAFBAD,请直接写出EFDFBE之间的数量关系,并证明你的结论;

(3)在(2)的前提下,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长.

EF的长为:5;

②数量关系:EFDFBE

【分析】(1)先证明△ABE≌△ADM,再证明△AEF≌△AMF,得到EFDF+BE即可;

(2)先证明△ADM≌△ABE,再证明△EAF≌△MAF,即可;

(3)直接计算△CEF的周长EF+BE+BC+CFDF+BC+CF=9+4+2=15.

(3)由上面的结论知:DFEF+BE

BC=4,DC=7,CF=2,

DFCD+CF=9

∴△CEF的周长EF+BE+BC+CFDF+BC+CF=9+4+2=15.

即△CEF的周长为15.

EFDFBEFC+CDBE=5

②和(2)方法一样,EFDFBE

故答案为EFDFBE

重要几何模型2--将军饮马模型

重要几何模型3--弦图模型

模型特点

弦图模型,包含两种模型:内弦图模型和外弦图模型.

(一)内弦图模型:如图,在正方形ABCD中,AE⊥BF于点E,BF⊥CG于点F,CG⊥DH于点G,DH⊥AE于点H,则有结论:△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.

外弦图模型:如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的点,且四边形EFGH是正方形,则有结论:△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.

弦图模型典例讲解

例题1. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG,连接EG,若AB=12,BC=16,求△AEG的面积.

变式练习>>>

1.如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD上,连接CE,以CE为边作正方形CEFG,点D,F在直线CE的同侧,连接BF,若AE=1,求BF的长.

例题2. 如图,以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF,该正方形的中心为点O,连接AO.若AB=4,AO=6倍根号2,求AC的长.

变式练习>>>

2.如图,点A,B,C,D,E都在同一条直线上,四边形X,Y,Z都是正方形,若该图形总面积是m,正方形Y的面积是n,则图中阴影部分的面积是___________.

例题3. 如图,在△ABC中,∠BAC=45°,D为△ABC外一点,满足∠CBD=90°,BC=BD,若三角形ADC面积为4.5,求AC的长.

变式练习>>>

3.点P是正方形ABCD外一点,PB=10cm,△APB的面积是60cm2,△CPB的面积是30cm2.求正方形ABCD的面积.

例题4. 在边长为10的正方形ABCD中,内接有6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,求这六个小正方形的面积.


例题5. 如图,在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中,∠AXB=∠DCE=90°,连接AD,BE,点I在AD上,

(1)若IC⊥BE,求证:I为AD中点;

(2)若I为AD中点,求证:IC⊥BE

例题6. 在平面直角坐标系中,直线l的解析式为y=2x+b,其与x轴交于点A,与y轴交于点B,在直线l移动的过程中,直线y=4上是否存在点P,使得△PAB是等腰直角三角形,若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标,如不存在,请说明理由.

弦图模型小试牛刀

1.我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这是著名的赵爽弦图(如图1).它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案.在弦图中(如图2),已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点,对角线BD分别交AHCF于点PQ.在正方形EFGHEHFG两边上分别取点MN,且MN经过点O,若MH=3MEBD=2MN=4根号5.则△APD的面积为多少.

2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以边ABAC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CEBGEG.(正方形的各边都相等,各角均为90°)

(1)判断CEBG的关系,并说明理由;

(2)若BC=3,AB=5,则AEG面积等于多少.

重要几何模型4--费马点模型

模型特点

费马点的定义:数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的:

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;

2. 如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。

费马点的性质:费马点有如下主要性质:

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解:

费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.

秘诀:以△ABC任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值

费马点最值模型典例讲解

例题1. 已知:△ABC是锐角三角形,G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.

求证:GA+GB+GC的值最小.

变式练习>>>

1.如图,点P是三角形边长为1的等边内的任意一点,求PA+PB+PC的取值范围.

注    本题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试.

变式练习>>>

2.若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4, 求PB的值.

例题3. 如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,AD是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路APDP以及PH之长度和为l,求l的最小值.

变式练习>>>

3.如图,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点AD为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含BC两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道PAPDPM.若修建每米专用车道的费用为10000元,当MP建在何处时,修建专用车道的费用最少?最少费用为多少?(结果保留整数)

例题4. 如图1,已知一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于AB两点,抛物线y=﹣x2+bx+cA

B两点,且与x轴交于另一点C

(1)求bc的值;

(2)如图1,点DAC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;

(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PAPCPG,分别以APAG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR

①求证:PGRQ

②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

费马点最值模型小试牛刀

重要几何模型5--隐圆模型

模型特点

1.触发隐圆模型的类型

(1)动点定长模型

(2)直角圆周角模型

(3)定弦定角模型

(4)四点共圆模型①

(5)四点共圆模型②

2.圆中旋转最值问题

隐圆模型例题讲解

例题1. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,MAD边的中点,NAB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN,连接A`C,则A`C长度的最小值是__________.

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN,可得MA’=MA=1,所以A’轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A’,此时AC的值最小.构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去AM即可,答案为根号7减去1

变式练习>>>

如图,在直角三形ABC中,

C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__________.

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.过F点作FHAB,与圆的交点即为所求P点,此时点PAB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.答案为1.2.

例题2. 如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点AB,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.

变式练习>>>

2.如图,矩形ABCD

中,AB=4,BC=8,PQ分别是直线BCAB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PFPD,则PF+PD的最小值是_________.

例题3. 如图,EF是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CFBD于点G,连接BEAG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________. 

变式练习>>>

3.如图,Rt△ABC

中,ABBCAB=8,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是_________.

隐圆模型小试牛刀

重要几何模型6--胡不归模型

模型特点

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还可能会遇上形如PA+kP这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:(1)胡不归问题;(2)阿氏圆.

【故事介绍】

从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)

而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?

【模型建立】

如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,AB为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使

的值最小.

【问题分析】

【问题解决】

构造射线AD使得sinDAN=kCH/AC=KCH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BHADMN于点C,交ADH点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.

胡不归最值模型例题讲解
胡不归最值模型小试牛刀

重要几何模型7--阿氏圆模型

模型特点

在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.

阿氏圆最值模型例题讲解
阿氏圆最值模型小试牛刀

重要几何模型8--角含半角模型

模型特点

角含半角模型,顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含:等腰直角三角形角含半角模型;正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一:等腰直角三角形角含半角模型

类型二:正方形中角含半角模型

角含半角模型例题讲解
角含半角模型小试牛刀

重要几何模型9--共顶点手拉手模型

模型特点

共顶点模型,亦称“手拉手模型”,是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合,两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下:

(1)寻找公共的顶点

(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边

(3)将两组相等的边分别分散到两个三角形中去,证明全等或相似即可。

共顶点手拉手模型例题讲解
角含半角模型小试牛刀
文章来源:王通博初中数学(ID:wtbmaths);
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