积分收敛判法举例

1、A(a)=∫(0，1)[(1-t^a)/(1-t)]dt.

（1）a＞-1：A(a)=ψ(a+1)-ψ(1).

（2）a≤-1：A(a)发散。

（3）判法：A(a)-A(a-1)=(1/a)|t^a|(0,1).

2、B(a)=∫(0，π/2)(cosx)^a-1cos(ax+x)dx.

（1）a＞0：B(a)=0.

（2）a=0：B(0)=π/2.

（3）a＜0：B(a)发散。

（4）判法：B(a)=(1/a)|(cosx)^asin(ax)|(0,π/2).

3、C(a)=∫(0，π/2)(cosx)^a-1sin(ax+x)dx.

（1）a＞0：C(a)=1/a.

（2）a≤0：C(a)发散。

（3）判法：C(a)=(-1/a)|(cosx)^acos(ax)|(0,π/2).

4、D(a)=∫(0，π/2)[cosⁿxsin(nx+x)/sinx]dx.

（1）a为自然数：D(a)=π/2.

（2）a=-1：D(-1)=0.

（3）a＜-1：D(a)发散。

（4）判法：D(a)-D(a-1)=B(a).

5、E(a)=∫(0，π/2){[cosx-cos^axcos(ax+x)]/sinx}dx.

（1）a为正整数：E(a)=有限调和级数.

（2）a=0：E(0)=0.

（3）a≤-1：E(a)发散。

（4）判法：E(a)-E(a-1)=C(a).

6、三个积分极限：

（1）A(k，a)=∫(0，1)[t^a(-lnt)^k/(1-t)]dt.

①k＞0：(a→∞)A(k，a)=0；    ②k≤0：(a→∞)A(k，a)=∞ .

（2）(a→∞)∫(0，π/2)[cos^axcos(ax+x)/sinx]dx=∞ .

（3）(a→∞)∫(0，π/2)[cos^axsin(ax+x)/sinx]dx=不定值.