“半角模型”又一题
王 桥
今天分享一道小题。请看题：
例1、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）请写出图中所有的相似三角形；
（2）若BD=1/2，求CE.——选自《沙场秋点兵》——“相似三角形的九大模型”
【解析】（1）图中相似的三角形有：
①△ABC∽△AGF——注意：全等是相似比为1的特殊的相似；
②△BEA∽△AED；
③△CDA∽△ADE
④△BEA∽△CAD——相似三角形具有传递性；
（2）策略一：直接套模型
如果知道了“90°含45°半角模型”的结论，可直接套用公式“DE2=BD2+CE2”秒杀——详见《春季攻势》第12讲“对角互补和半角模型”及《冲刺十招》第5讲“胸有成竹会'建模’”。即：
那么，这个结论怎么证明呢？由于《春季攻势》和《冲刺十招》都没有对这个结论进行证明，这里不妨证明一下。
方法1：运用半角模型的旋转策略（详见《老王的数学公众号》“小议'倍角含半角模型’（1）”）
如图1：作BM⊥BC，并截取BM=EC，连接AM，DM，则∠ABM=∠ABC=∠C=45°，则易证明△AMB≌△AEC，∴AM=AE，MD=EC，∠MAB=∠EAC。∵∠BAC=90°，∠FAG=45°，则∠BAD+∠EAC=45°，∴∠MAD=∠MAB+∠BAD=45°=∠EAD。则易证明△AMD≌△AED，则DE=DM。在Rt△MBD中，∵MD2=BD2+BM2，∴DE2=BD2+CE2。
一般这类“旋转”可达目的的，顺时针旋转可以，逆时针旋转也一定行：
方法2：运用半角模型的旋转策略（详见《老王的数学》公众号“小议'倍角含半角模型’（1）”）
如图2：作CN⊥BC，并截取CN=BD，连接AN，EN，则∠ABM=∠ABC=∠C=45°，则易证明△ABD≌△ACN，再易证明△ANE≌△ADE，则DE=EN。在Rt△NEC中，∵NE2=EC2+NC2，∴DE2=BD2+CE2。
方法3：运用半角模型的折叠策略（详见《老王的数学》公众号“小议'倍角含半角模型’（1）”）
如图3：把△ABD和△ACE分别沿着AD、AE折叠，AB和AC重合于点P，则易知∠DPE=90°，且PD=BD，CE=PE。∵DE2=PD2+PE2，∴DE2=BD2+CE2。
策略二：整体思想
方法4：直接运用“相似三角形的对应边成比例”构造方程求DE
反思：这道题目不算很难，但是对于一般的同学们来说，想要做出来却不见得很轻松。容易出错及容易卡壳的地方有：
1、对于基本概念不准确，不知道“全等三角形是特殊的相似三角形”，容易把“△ABC∽△AGF”给漏掉；
2、对相似三角形的传递性不熟悉，容易遗漏“△BEA∽△CAD”这一对相似三角形；
3、对于求DE没有策略。
这里虽然给出了4种方法，相信还会有更多的方法。任何一种方法都值得尊重。我们都在寻找解决问题的“通法”和“特法”的道路上摸索，可能某种方法在解决谋道问题的时候比较繁琐，但可能这种方法却是能够轻易打开另一道题目的钥匙；可能某种方法解决这道题目比较简单快捷，而解决另一道题目就会繁琐或者失灵。任何一种方法都具有一定的适用性和局限性。经过大量的练习，从茫茫题海中总结出一些做题的方法，并能运用之解决一类问题，这难道不是多题归一的“建模”？而运用已经掌握的做题方法（或者“模型”）来解决一类问题不正是数学“建模”的目的所在吗？
记住了某些“模型”，有时候就能起到一剑封喉的神奇效果（客观性题目直出结果，主观性题目“执果索因”）——何乐而不为？；见“倍角含半角”，用旋转策略或者折叠策略——几乎屡试不爽！在大前提不变的情况下，前面已经证明过的结论直接“拿来主义”的“整体策略”——也经常在做题时大显身手！知线段、求线段、造方程——“构造方程法”难道不是求值类问题的最大通法？