工作载荷识别常见方法介绍
载荷-响应类TPA模型的数学理论公式为：
其中yk是某个目标点的响应，NTFi和NTFj分别是结构传递路径和空气传递路径输入点到目标点的传递函数，F和Q是工作状态下的结构载荷和声学载荷。n和p分别表示结构传递和空气传递的路径数。结构载荷通常是力，声学载荷通常是体积加速度。
路径输入点到目标点之间的NTF可以通过测量直接获得，但结构载荷和声学载荷一般通过间接方法获得，获得工作载荷的过程称为载荷识别。声学载荷通常没有可用的直接测量设备，虽然结构载荷可以通过载荷传感器（如力传感器）直接测量得到，但通常使用载荷传感器会影响系统的动力学行为，因此，工作载荷一般是通过间接方法获得，如悬置动刚度法、逆矩阵法、单路径求逆法和OPAX方法等。响应-响应类TPA模型直接使用工作响应来代替工作载荷，因此，不需要进行载荷识别。
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直接法
如果能通过载荷传感器（见图1）直接测量得到工作载荷，则这种载荷识别方法称为直接法。这种直接法仅适用于结构载荷，声学载荷较难直接获得。对于直接识别结构载荷而言，需要将载荷传感器放置在路径输入点位置，一定程度上会改变结构特性，从而导致直接测量得到的载荷与最初想识别的载荷存在较大的差异。
图1 某型号结构载荷传感器
如对于发动机TPA而言，悬置作为结构路径的输入点，需要识别悬置处的结构载荷，如果采用直接法，则需要在悬置上掏挖一个孔洞以用于安装载荷传感器。在悬置上掏挖孔洞，一定程度上会破坏悬置自身的隔振效果，从而导致掏挖后作用该处的载荷与之前完全不同，影响载荷识别。所以，直接法识别载荷存在弊端，很少使用。
当不能使用直接方法识别工作载荷时，通常可采用以下这些间接方法进行工作载荷识别。
02
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悬置动刚度法
动力总成悬置安装示意如图2所示。根据力等于刚度乘以位移公式，可计算得到悬置处的工作载荷，由于测量过程中普遍使用加速度传感器，因此，最终的计算如下如示，
图2 动力总成悬置测量示意图
式中，Fi为要识别的工作载荷，Ki是悬置复数形式动刚度，aai与api分别为发动机侧（主动侧）和车身侧（被动侧）的加速度，ω是频率。
从上式可以看出，要计算悬置处的工作载荷，必须要获得悬置的动刚度曲线，但悬置的动刚度曲线通常很难获得。另一方面，要通过主/被动侧的相对加速度积分两次得到悬置的位移数据。
一旦悬置动刚度曲线可用，便可以通过动刚度乘以位移计算悬置处的工作载荷。但如果悬置是硬连接或位移很小时，这种方法就不适用了。作用一般原则，采用悬置动刚度法识别工作载荷要求悬置的传递率在6dB以上。
如果不能从悬置供应商处获得动刚度曲线，也可以通过测量获得，但必须关心的是，在实验室获得的动刚度要与悬置在工作状态下的动刚度相等。因为悬置是非线性的，当在实验室测量悬置的动刚度时，必须要施加正确的预载荷，如图3所示。另外，悬置的刚度变化也受温度影响严重，测量时要考虑温度的影响。
图3 悬置动刚度测量示意
典型的橡胶悬置包括与发动机安装的螺栓，橡胶衬套和车身侧的固定支架，如图4a所示，绿色表示螺栓，蓝色表示弹性橡胶单元，黑色为车身侧的固定支架。螺栓安装在发动机侧，在车身侧使用支架固定悬置。通过悬置动刚度方法识别悬置处的工作载荷时，要求测量悬置在工作状态下主/被动侧的加速度。并且是悬置几何中心处的加速度，但由于结构安装特性，导致不能直接测量得到悬置几何中心处的加速度，这就要求使用多个加速度传感器进行测量，然后平均得到几何中心处的加速度，通常多个加速度计平均也可以避免扭矩对几何中心位移的影响。通常在悬置主动侧上下位置布置两个三向加速度计（见图4绿色位置），在被动侧左右位置布置两个三向加速度计（见图4黄色位置），分别对它们进行平均，得到主/被动侧悬置几何中心位置处的加速度，然后对这两个几何中心处的加速度的差值积分两次，得到悬置的工作位移。
(a) 悬置结构与测量示意
(b) 悬置实物测量位置
图4 悬置结构和工作状态下的悬置两侧加速度测量示意
测量主/被动侧的加速度响应是在结构处于工作状态下，而测量路径输入点到目标点的NTF时，则是结构处于静止状态下。因为工作载荷作用在结构的被动侧（如车身侧），因此，测量NTF应是被动侧到目标点位置，当然互易性测量也可使用。当移除发动机之后，在车身被动侧悬置安装位置仅剩下安装支架，此时，沿悬置轴向是一个孔洞，如图5所示。为了获得被动侧几何中心位置（孔洞处）到目标点的NTF，通常需要使用其他金属片安装在悬置安装位置处，如图5所示Y向需要粘贴铁片用于激励。
图5 在悬置安装位置轴向粘贴金属片
03
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逆矩阵法
我们知道，结构的响应等于频响函数乘以激励力，那么，可以对这个公式求逆获得工作载荷，即载荷等于响应乘以频响函数的逆矩阵，这种识别载荷的方法称为逆矩阵法。由于各个测点之间的FRF在一定程度上线性相关，因此，当仅包含路径处的FRF(包括路径处的驱动点FRF和路径之间的跨点FRF)时，FRF矩阵不满足满秩要求，从而不能求逆。因此，为了保证矩阵能求逆，需要补充更多测点的FRF数据，也就是除了考虑路径点之外，还需要考虑额外的指示点处的FRF。在这，路径点和额外的指示点统称为指示点。除了路径到各个指示点处的FRF之外，逆矩阵法还要使用大量的指示点的加速度去估计路径处的工作载荷。额外的指示点加速度靠近路径位置，因此，它们与路径处的工作载荷强相关。如图6所示，ai为路径处的加速度，a1-av为指示点处的加速度。
图6 逆矩阵法测量示意图
指示点的加速度与工作载荷之间的关系通过系统的传递矩阵来描述，这个矩阵包含每条路径到每个指示点处的FRF，此时矩阵为满矩阵。这个满矩阵意味着每个指示点的加速度是由每个工作载荷联合引起的，而不是仅仅是由离它最近的工作载荷引起的。因此，这也就体现了考虑路径之间的相互耦合性。
对获得的频响函数矩阵求逆得到各个路径位置上的载荷，公式如下：
从上面公式可以看出，逆矩阵法求解工作载荷除了需要获得指示点之间的FRF满矩阵之外，还需要测量工作状态下各指示点的加速度。求解载荷的第一步就是对FRF矩阵求逆。初看起来，似乎对这个频响函数矩阵求逆会比较麻烦。因为我们知道，使用逆矩阵法进行载荷识别时，矩阵的维数是路径总数的2倍或者更多，这是因为测得的频响函数很多都是线性相关的（看起来非常相似），为了获得更多线性无关的方程，需要额外的测点才能保证求解出想要的载荷。因此，频响函数矩阵的维数是比较大的，如路径数为15，额外的指示点也为15，则频响函数矩阵维数为15×30。另一个方面，求逆计算必须要计算每条谱线下的值，而关心的带宽内谱线数通常很大，如4096条，甚至更多。为了快速准确的求逆，通常使用奇异值分解方法（SVD）。因为通过SVD对矩阵求逆变得非常简单：奇异值求倒数，奇异矩阵转置。因此，使用SVD对频响函数矩阵求逆使得工作载荷识别过程变得非常简单。
逆矩阵法适用于刚性悬置和刚性连接的情况。
逆矩阵法识别工作载荷的缺点之一是要保证FRF矩阵能够求逆，因此，要求指示点数远大于路径数。这样，我们可以获得超定方程组（方程数大于未知数），并按最小二乘方式求解工作载荷。为了获得准确的结果，通常超定因子为2，也就是方程数为路径数的2倍，即指示点数为2倍的路径数（除了路径数之外，还要一倍路径数的额外指示点）。这样一来，得到的是一个超定的扩展矩阵，这就要求花费更多的时间与精力用于频响函数测量和工作数据测量用于载荷识别。另一方面，在频域求解时，要求解每一条谱线，因此，如果考虑的路径太多，则需要付出更多的精力。
从上面的方程可以看出，逆矩阵法进行载荷识别时，需要从路径到各个指示点的频响函数，而且还需要各个指示点的工况数据。因此，当利用逆矩阵法进行载荷识别时，第一步是在实验室测量获得路径点到各个指示点的频响函数满矩阵；第二步是获得各个指示点的工况数据；第三步是进行载荷识别计算。
进行频响函数测量时，通常是将激励源移除，把待测结构自由悬挂起来，如图7中所示的移动发动机后的车身，用弹性绳自由悬挂。常用的激励设备包括力锤（见图8a）和迷你型激振器（见图8b）。迷你型激振器对于紧凑空间内的激励是非常适用的。在测量用于载荷识别的频响函数的同时，也会测量用于贡献量分析的频响函数，即从路径点到目标点之间的频响函数。当测量路径到目标点之间的频响函数时，我们也可以使用互易性来测量，测量这类频响函数时也需要将源移除。
图7 自由悬挂的车身
（a）力锤激励
（b）迷你激振器激励
图8 常用的两类激励设备
第二步是测量工况数据，通常也是各指示点与目标点的工况数据同时测量。要求测量各指示点的工况数据要与第一步测量频响函数的位置与方向相同。这时因为测试两类数据的过程中涉及到激励源的移除，因此，必然要拆卸和重新安装传感器，所以，在重新安装传感器的过程中，要确保两次测量的指示点位置与方向一致。
另一方面，用逆矩阵法进行载荷识别除了需要路径点数据之外，还要提供一倍数量的额外指示点数据。那么这些额外的指示点应该位于什么位置呢？布置这些额外的指示点通常要遵循以下原则：1）靠近路径点位置，其他的路径对这个额外的指示点影响有限；2）离这个路径点要“足够远”，以避免相同的信息重复测量两遍；3）避免在一些薄弱的面板上布置额外的指示点，这些位置可能存在局部共振频率。通常额外的指示点布置在离路径点处10cm左右的位置，如图9中红圈所示位置为额外的指示点测量位置，其他位置为路径点测量位置。
图9 额外的指示点测量位置
04
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单路径求逆法
单路径求逆法进行载荷识别原理与逆矩阵法相同，但假设一些指示点加速度计或麦克风仅受一条路径的激励。如果这个假设成立，那么这个激励载荷可以通过对单列FRF矩阵和几个指示点的工况数据得到，这个单列FRF矩阵是这条路径到多个指示点之间的FRF，这个方法对应的公式为
式中，v是表示指示点数，通常对于单路径而言，v常取2。这个方法是假设在指示点位置测量的工作响应仅仅是由要识别的这条单路径引起的。如果这条单路径与其他重要的路径之间相互是解耦的，那么按这种方法估计得到的工作载荷是没有问题的。这对一些结构路径来说，可能是这样的，如各种不同部件之间的衬套或悬置能提供足够强的隔振效果。然而，这个方法更常用于估计声学载荷，如排气尾管的声学载荷。这时通常测量排气尾管与一些指示点位置之间的传递函数和这些指示点位置的麦克风工作响应。如图10所示，在尾管处放置一个小型体积声源（图中红圈中间所示设备），同时在尾管附近布置两个麦克风，测量它们之间的传递函数，以及测量两个麦克风指示点的工况数据。
图10 排气尾管处的测量（汽车底部俯视图）
图11 排气尾管测量示意图
这个方法常用于确定声学载荷，因为结构载荷通常很难与其他的结构载荷之间相互解耦。这个方法测量步骤与逆矩阵法相同：测量路径与指示点处的传递函数，然后测量指示点处的工作响应，然后再进行载荷识别计算。在测量传递函数同时，也会测量路径处到目标点处的传递函数；测量指示点处的工作响应同时测量目标点处的工作数据。
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派生方法
面板振动引起的声学激励，可以将大的振动面板划分成若干个小区域，测量每个小区域的法向加速度信号，然后每个小区域的法向加速度乘以相应的面积获得这个小区域的体积加速度，获得声学载荷，如图12所示。
图12 测量振动表面的法向加速度
对于声学载荷较集中的激励源，如排气尾管噪声，我们可以定义一个测量面围绕这个激励源，可以测量通过每个小区域的声强，或者测量每个小区域的声功率。假设声场是自由场，则从这些测量数据中可以获得激励源的体积速度。要注意的是，当测量量为加速度或声强时，可以获得相位信息，可以确定路径是否相互抵消。但当测量声功率时，则不包含相位信息。
我们是基于这样的假设，假设小区域刚性地前后运动。譬如将汽车的仪表板（见图13右侧）划分成不同的区域，把每个区域当成一条路径。每个区域可进一步划分成若干小区域，这样能减少从路径到目标点处的NTF数量。每个小区域的振动类似图13中左侧的活塞运动。为了确保假设成立，则要求小区域的最大尺寸应小于声源辐射的声波的最短波长。因为我们将平均这些小区域的体积速度成一个值，与这条路径相关的测量区域的最大尺寸必须小于感兴趣的最短波长。这是因为我们把一个激励源看成是一个激励这个声学路径的单极子。一般的原则是小于波长的1/6。
图13 将汽车前围划分若干个小区域
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各种方法混用
有时可以联合直接法、悬置动刚度法和逆矩阵法等方法同时使用用于确定工作载荷。
从其他方法获得的载荷将被视为先验已知。例如，我们可以联合逆矩阵法和直接测量法。在这种情况下，指示点的加速度不仅是由逆矩阵方法确定的激励路径引起的，也是直接测量的路径的载荷引起的。我们不能简单地仅用加速度乘以FRF的逆矩阵。应该首先提取工作状态下直接测量的载荷引起的那部分加速度，然后应用逆矩阵法使用仅由要识别的载荷引起的那部分加速度来进行载荷识别。如在图14中，假设共有5条路径，其中一条路径采用载荷传感器已直接测量出工作载荷Fdirect，还剩4条路径的工作载荷Fmatrix需要通过逆矩阵法进行识别。那么，在利用逆矩阵识别其余4个载荷时，使用的加速度要减去直接测量出来的载荷Fdirect所引起的加速度。
图14 直接测量与逆矩阵联合使用
在这里，我们假设直接测量了一个力载荷，当联合其他的方法进行载荷识别时，也应该使用相同的策略。