数学写作漫谈（下）
四、析用现在进入文章主干部分，即论述和证明的铺陈。首要原则是解释文章的“动机”, 在展开论证前尽量提示问题的背景和想法；这是数学写作的特殊要求，但也得斟酌文章性质和论证本身的长度，毕竟冗长的评注总不如一个透彻的证明。若不确定需不需要这套工序，那么按照前述的友善原则，还是仔细说明动机为佳。第二条原则是控制“节奏”, 指的是所谓文气。从反面考察，我认为中国学生在节奏上兼有拖沓与急促两种毛病。这里所谓的拖沓还包括重复，亦即同一句型屡屡重出，如通篇都是 thus... so 等等。难怪许多写作教程的重点在教人怎么简省文句；其实除非文章超过 60 页，一般无须特地改短。事实上这里得留意另一个陷阱：数学写作的根本价值在于易读易懂，而非简省字句，后者是为前者服务的。很多时候甚且必须在过渡处插入虚词、虚句，以增加流畅度。一句话累赘与否系于全局；根本标准在于读者的阅读体验。相较之下，急促恐怕是更深入骨髓的毛病，主要表现为短促、结巴、拥挤；重复问题在此亦有体现。急促不仅表现在文句上，还表现于数学公式，例如滥用行内公式就是一个很常见的毛病。显示公式虽然多占一行，然而对读者更舒缓，编排时也更能游刃有余。局促的公式加上局促的语句造成局促的节奏，继而是难受的阅读体验。附带一提，不少人不只文气局促，口头报告时也有同样毛病，两种现象兴许是同源的。第三个要点是关于引用。不少人习惯于极简作风，譬如我行文中需用到某个性质，就写个“[3]”引用某文献，那么问题来了：除非文献 [3] 很短，或者 [3] 的宗旨即所引结果 (例如吴宝珠证明“基本引理”, 全文 269 页), 否则读者极难萃取有效信息。设想读者上网或到图书馆翻出文献 [3], 结果发现它有 300 页......。各位有没有这种经验呢？正确做法是引用时尽量给出所引的定理编号或页码，文献综述除外；譬如写 [3, Theorem 6.5.4] 或 [3, p.129]。如果各位确切了解自己引的是什么，那么这些仅是举手之劳。第四个重点，兴许也是最紧要的一点，是善用“交叉参照”。各位必须意识到一个基本矛盾：读者的精力和注意力有限，而论文则是环环相扣、经纬万端的。大家都明白自己作为读者的局限，而对于面貌模糊的大牛们往往有不切实际的想象，认为他们能三两下收拾掉一篇论文。在此正告诸君：放弃幻想！多数情况下读者的时间都是零碎的。因此，我们需要一些技巧以来帮助读者。狭义的交叉参照指的是引用文章其它地方的定义、定理等，这也可以说是定义、定理之所以需要编号的原因；至于说广义的交叉参照，其实小说、电影乃至于评书里的叙事技巧在此大有用处，我仅讲三点:
伏笔：提示所证结果在全文中的地位、用处，及其和其它结果的联系等。闪回：常见于电影艺术；相对于伏笔，其作用是前情提要，或回顾稍早的理论框架和已证结果等。直入正题 (in medias res): 在导言部分即勾勒文章的核心要旨，例如主定理的某些重要推论等，而省去种种铺垫。当然，这样的预览必然要牺牲精确性作为代价。我们说过数学论文的结构是直线的。透过交叉参照，我们在直线结构中可以变些花样，使之更易读。既然叙事技巧通于各种文体，这里且再引用一句刘勰的话:“启行之词，逆萌中篇之意；绝笔之言，追媵前句之旨；故能外文绮交，内义脉注，跗萼相衔，首尾一体。”《文心雕龙・章句》我还希望提示一点：数学家在很多方面应该向程序员学习；实际上计算机科学与数学本是一家。软件工程的若干原理可通于数学写作，当然其词义不免稍有变化，兹举数例如下。模块化设计：抽离可以反复调用的结果，并保持其间的独立性；事后修改时就不必伤筋动骨。这些模块 (或当称作“组件”) 应当透过简单、稳定的界面来运用。封装：一如编程，铺陈一套理论时要注意隔离其技术或计算细节及其“界面”, 后者是一套理论得以被使用的窗口。论文作者好比是制造精密仪器的工程师，应该让客户不必拆掉面板就能使用大部分的功能。通变：何谓通变？例如在 C 语言里使用 goto, 编程上一般不鼓励这种用法。数学中对应的情况则是引用证明，或引用后头的结果。我们也不鼓励在论文里搞这些伎俩，但有些结构若不如此处理，就显得十分别扭，Bourbaki 的书就有类似毛病。
我们隐然将编程与写作混同了，方才提到的段子手 Knuth 早有此说，称之为“文学编程”:“Thepractitioner of literate programming can be regarded as an essayist, whose main concern is with exposition and excellence of style. Such an author, with thesaurus in hand, chooses the names of variables carefullyand explains what each variable means. He or she strives for a program that is comprehensible because its concepts have been introduced in an order that is best for human understanding, using a mixture of formal and informal methods that reinforce each other.”D. Knuth, Literate Programming, The Computer Journal 27 (2):97–111, 1984.准此，一些计算机科学家已经意识到：程序员有如散文家，程序应当结合形式与非形式的方法，做到“以人为本”。而我们数学工作者从来都是为了有血有肉的人而写作的，焉能不警醒？Knuth 甚至还说:“I look forward to the day when a Pulitzer Prize will be given for the best computer program of the year.”(D. Knuth, Mathematical Writings, §10)假如连程序都能得普利策奖，那么数学论文是否更有资格抢先一步？我也盼望有这么一天，也许拿个茅盾文学奖也挺好。关于文章主干部分，谨补充数个建议作结。细选符号：对于数学写作，符号的选择甚至比文句更重要，最早意识到这一点的先贤大概是 Leibniz。他和 Newton 在历史上有过微积分的发明权之争，现代人大多是偏袒 Newton 的，但实际运算时几乎一边倒地采用 Leibniz 的符号，例如微分的 dy/dx 和积分符号∫f dx。检查韵律：Halmos 说过一句话“最好的公式是能够念出来的公式”, 这倒不是绝对准则，但希望各位能仔细体会 Halmos 的意思。避开抄袭嫌疑：抄袭是一个严肃的议题，各位固然不会犯，关键在于避嫌。学习“讲人话”: 莫忘写作的目的是交流思想，交流的对象和自己一样都是人；学术机构里容易积蓄一种强大的无意识的惯性，造成大家往往不知如何讲人话。许多老师反对学生读闲书 (指其它数学领域书籍), 我的看法则正好相反：就该多读闲书，开拓眼界的同时学着写富有人情味的综述文章。兹举美国数学学会的两份期刊为例，一是 Notices of the American Mathematical Society, 二是 Bulletin of the American Mathemtatical Society。前者 Notices 既有优秀的综述文章，兼有大量行政、招聘和数学教育的报道，受众略庞杂；而 Bulletin 则以深入的综述和书评为主，我认为是比较适合研究生学习或赏玩的，两种期刊皆可自由下载。此外，法国数学会的 Gazette des mathématiciens、德国数学会的 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 以及日本数学会 / 岩波书店的《数学》等都是同类刊物中的佼佼者。五、论形“Typography is what language looks like.”(Ellen Lupton, Thinking with Type, 2nd Ed.)“排版是语言的样貌。”过去谈数学写作的的文章或教程不提排版，觉得那是期刊方面的责任；甚至国内一些主流期刊对排版也不甚上心。这是因为在传统模式下，数学文章系以作者→(期刊编辑、审稿人)→读者的方式传递。作者向期刊提交手稿，接受后依序由文字编辑和排版师傅处理，便成为正式的期刊论文。期刊这个中介倒也不是无法跨越，例如透过油印稿，乃至于手抄本的传播，但是论规模、品质或便利性，这些渠道都无法和正规期刊相比。此外，即使作者自己具有一定的排版手段，也绝不可能追上专业水平。因此可以说排版是期刊方面的事，作者只要取悦审稿人即可；许多人为此还聘请专业的打字员代劳。形势正在起变化。随着 LaTeX 等软件和网际网络的持续发展，特别是预印本平台 (如 arXiv) 的建立，现在作者可以在自己电脑上完成文章排版，向期刊投稿的同时兼以预印本方式在 arXiv 流通。从读者角度观之，期刊版本一般比较规范、美观，然而单位未必有订阅，何况预印本往往更早面世。是以 arXiv 已经成为数学工作者获取论文的重要渠道。
透过预印本直接同读者沟通，也意味排版的责任与乐趣同时落在作者肩上。排版水平直接决定文章观感。各位若对论文排版的种种琐碎规矩有疑问，终极的参考书是 The Chicago Manual of Style:此书搜罗大量的论文排版准则，不细述。以下仅点评国人在数学排版上最常见的几个缺陷:数学公式的括号高度不足。符号忌置句首；必要时可插入赘词来避免。慎用下划线：使用下划线是在打字机和黑板上的无奈之举，如果条件许可，尽量利用字体本身的变化来突出重点，如粗体、意大利斜体、无衬线字体和小型大写字母等。使用 LaTeX 等软件排版是一项复杂的系统工程，至少需要一门短期课程来讨论，此处谨以几条泛泛之论作结。养成良好的代码习惯，使用缩排、注解等技巧；这和编程并无二致。选择合宜的编写环境，如 WinEdt、TeXmaker、TeXstudio、vim、Emacs 等。使用自动拼字检查。广识宏包。在 CTAN 网站上有齐全的 TeX 宏包目录，其数量之多、功能之杂，远超一般使用者的想象。慎选模板。网上很多履历、研究计划等各种用途的 LaTeX 模板。重点在于“慎选”。有些模板不够皮实，比方说原来用 12 点字看着挺漂亮，一旦换成 10 点或多打了几个字就乱套；按理说编写 LaTeX 文档时只需要照顾文章的结构，外观当由模板作者来操心，因此这反映出原作者设计时考虑不周。希望大家下载模板时尽量选择来路可靠、文件周详者。熟习 LaTeX 上绘图、制表的相关技术。这方面的宏包选择极多，我个人特别推荐 TikZ 宏包。拒绝急就章。这里主要指网上《N 分钟学会 XXX》之类的攻略；这么复杂的系统，哪有花几个小时就能玩转的道理？我们教师或研究人员有无穷无尽的临时交办事项，往往得在短短两三天内交出一份计划、简报或推荐信，求助于急就章也是不得不为。然而诸位大多还是学生，应该抓紧这段宝贵时光，从基础学好数学排版软件及各种宏包的用法。多方交流。主要信息源是相关的网络论坛，如 TeX-LaTeX StackExchange, 这些专业论坛至今保持着良好的讨论风气，也没沾染营销。此外，很多人不晓得在 arXiv 也能下载预印本源码，其中大多数其实是反面教材。归根结底，精进排版修养的关键在于四个字：乐在排版。精进也蕴含了一定程度的辛劳。19 世纪美国小说家 Nathaniel Hawthorne 说过:旨哉斯言。“Easy reading is damn hard writing.”六、补遗我们的主旨固然是数学写作，然而之前已经反复强调过，论文应该作为众多叙事方式的一员来考察。口头报告是数学工作者的另一种叙事手段，与论文互补。如同论文的情形，我认为学生对口头报告的原理普遍存在误区，故在此就报告的一般要领略作些补充。确定受众。与写作同理，主要是防止高估听众的背景知识。同学们应该有这种经验：导师叫你去听一场报告，结果啥也听不懂，只能坐在下头死撑。这种情况究竟是听者的错，还是讲者的错？也许两个人都没有错，只是彼此相遇在错误的时间、错误的地点罢了。但假若讲得让台下像一排排死鱼一样，那么讲者显然要自我检讨。克制冲动。更明确地说，要克制讲述细节的冲动。除非是专为搞懂某个证明而组织的系列报告，否则别纠缠细节。自己的证明或结果是特别难割舍的，如放任自流，就会出现大家很熟悉的一种风格：喋喋不休地条列本人证明了什么定理，于哪一年发在哪个期刊等等。很多时候，一位教授之所以坐在你台下，无非是无意间见到海报，产生兴趣，想学点新的数学罢了，至于定理是谁证的、发在哪里，纯属枝微末节；这类听众才是你最应当珍视的。大而化之，保持善意的含混。小细节无碍于报告的基本思想；即便勉强说清了，听众未必愿意听，听了未必懂，懂了也记不住。由浅入深。实践表明，“低起点，高坡度”是一种特别适用于数学报告的模式。比方说一个小时的报告，开始十分钟交代背景，本科生也能听懂，直到前三十分钟也不太难，讲到第四十、五十分钟左右突入前沿；这在国际上是很常见的风格，适用范围相当广。掌控节奏。这是比较微妙的一点。报告节奏忌仓促，尤忌拖沓；我观察到中国人的报告易犯后一种毛病，讲到后来拖死猫、拖死狗，听者痛苦，讲者憋屈，主持人也表情复杂。掌控节奏的要诀在于“统筹设计”, 安排其中的铺垫、高潮、间奏与段子，这是报告前的一道工序。然而讲报告时放不开也罢，就怕一放放过头，尤其是段子。听众对段子普遍是喜闻乐见的，但也很容易被段子惹恼；现在媒体或网络上时兴的段子多有特定的讽刺对象。希望各位了解到：真正练达而近乎艺术的黑乃是“自黑”, 在报告中也是如此。总结以上讨论，怎样才是一位优秀的讲者呢？这里斗胆提出一条公式:优秀的讲者 = Grothendieck + 郭德纲
提 Grothendieck, 自然是强调讲者须具备学术上的识力。提郭德纲则是呼应之前讲到的节奏设计，特别是段子，这与中国的相声、评书等传统艺术可谓同气连枝。使段子相当于相声里所谓的“抖包袱”, 须拿捏分寸，你不能从头到尾都在抖包袱。另一个重点也是上头提到的：忌讲尖刻过分的段子。根据我对网上年轻人的观察，各位在幽默和创意方面绝对不落人后，此风刮到学术领域只是时间问题，是以我更愿意强调在制造幽默时的“度”, 以及温厚的品格。对此，我谨引用清代词人陈廷焯的一段文字:“无论作诗作词，不可有腐儒气，不可有俗人气，不可有才子气...... 尖巧新颖，病在轻薄，发扬暴露，病在浅尽。腐儒气、俗人气，人犹望而厌之；若才子气，则无不望而悦之矣，故得病最深。”(《白雨齋词话・卷五》)以上可谓报告之“道”, 含结构、风格和讲述技巧等面向，然而现代人作报告也离不开形而下之“器”: 投影片或板书。黑板是数学家的传统家当；至于所谓的投影片，现在普遍以 Beamer、Keynote 或 Power Point 制作，后者颇不便于数学排版，但在中国应用仍广。板书和投影篇的优劣是个饶富兴味的话题，我们下面就若干面向进行比较，供各位参考、取舍。Beamer/Power Point板书信息密度高信息密度低便于再利用和传播难以再利用单线叙述多线程、多“罅隙”欠生动，可搭配多媒体富表演性极不适合演示证明较适于演示证明所谓信息密度，主要是以时间为分母来计算。一般用投影片能在同样时间内覆盖更多内容，这种计算不考虑听众的反应时间和报告节奏，而后两种因素对数学报告格外重要。所以用投影片容易有速度过快、节奏单调之弊。关于投影片的再利用和传播，过去使用幻灯片的时代是直接复印胶片，现在则是在网上流通 PDF 或 PPT 档案，而板书根本无法用这些方式保存或流通，除非对整场报告做录像。现在很多人喜欢给黑板拍照，算是一种无可奈何的办法。用 Beamer 或 Power Point 作的报告说穿了，乃是用一个个回车键串起的，听者很容易忘记先前内容。必要时当然可以倒退或使用超链接，但效果并不理想。这类报告要求听众完全遵循片子里的逻辑。至于板书，一个合格的大教室至少会有四块黑板，透过黑板的调度和选择性擦拭，能更贴近数学思维的结构，听众还能用停顿时间思考；而且在写板书时可以随意涂改、插入箭头或注记等，是谓“罅隙”, 这在 Beamer 或 Power Point 中比较难做到。上面已经提过投影片的沉闷，各位在本科阶段若上过用 Power Point 讲的基础课，必能心领神会。板书本身的大幅度肢体动作，以及写作过程中必不可免的节奏变化，能使报告增色不少，这是我所谓“表演性”的意涵；其中的停顿时间虽然降低了前述的信息密度，却也使听者有时间消化之前的内容。然而 Beamer 和 Power Point 适于嵌入多媒体内容，例如复杂的图表和动画之类，这对应用数学尤其重要。最后一项是关于证明的演示。黑板是数学证明的传统载体，自不待言。而基于投影片的单线和沉闷特点，用以讲述证明绝对是个坏主意。我所见的例子无一成功。以下是使用 Beamer 准备报告时的几个要诀。节制公式的使用。计算机科学家 Lance Forthnow 曾经断言：Power Point 使用者作的报告比 Beamer 的更好！大家知道 Beamer 的公式漂亮、功能齐备，那么 Forthnow 教授何出此言？他认为：由于 Power Point 的数学排版功能实在太糟，导致使用者不得不减少数学公式，报告从而更易懂。这个解释值得各位再三揣摩。坚持技术流。致力探索 Beamer 的潜能，避免找现成的模板。至于板书，同样有几点诀窍与各位分享。存规矩。无口说不成报告，但板书并不是口说的注解，黑板也不是你的草稿纸，应该让板书本身具有一定程度的理路。很多人讲课时的板书只是他的计算过程，因此写得信马由缰；听者只要分神半分钟，回头就无法理解黑板内容了。这里我还想突出“网格”的角色。在平面设计领域，网格的重要性已是公论。在纸张或网页上可以用网格划出结构，黑板亦然；网格未必要用粉笔画出来，但心中必须有网格。切忌在黑板上东写一个、西写一个，搞得新旧间杂，写到第二块黑板就完全不知所云了。重灵活。板书不是抄书。很多人在黑板上照搬书面的文句结构，这样就牺牲了板书独具的优点。在黑板上，我们一则不必拘泥于文法，二则是可以利用箭头、自创的符号和粉笔颜色等技巧突出重点。简言之，板书是一种更加直觉化的表现手法。精进字体修养。字写得好看与否倒是次要的，关键是黑板上的字和读者心目中的字必须有一一对应，换言之就是辨识度问题。以希腊字母为例，经常见到有人写字时 ξ 和 ζ 不分，γ 和 r 不分，ω 和 w 不分，更荒唐的是 σ 和数字 6 不分！还有大写的希腊字母 Θ, 很多人误把衬线当竖线，把它写成字母 H 外头包一圈，这是什么符号？这是直升机停机坪的符号。想用 LaTeX 打出来还颇费工夫呢。相关例子还有很多，就此打住。迄今我们已经谈到数学写作的中心，即交流思想 (传递信息), 以及信息在各种载体中比较合宜的编排形式。但信息的传递离不开渠道，是以我们就渠道问题简短收尾。渠道的要点在于网络。先前谈排版时提到的网站 arXiv 就是依托网际网络而兴起的重要平台。中国人对网络是非常敏感的，电子商务领域便是一例，但中国数学家对网络的运用还稍有滞后，个人网页是突出的例子。网页可谓数学工作者的名片，也是提高自己在学界能见度的重要方式。有人觉得既然开通了博客或微博，就无须再搞个人网页，殊不知博客存放的资料有时间性，而个人网页则不然；博客上发一篇文章，三年后就不知沉到哪儿去了，而数学论文三十年犹不显老，越陈越香。中国各高校及研究单位普遍无心此道，或是多所掣肘，当然还要考虑网管人员的业务水平。如果各位所在单位容许则最佳，否则必须另想法子。花点小钱的办法是租用虚拟主机，现在无论租用境内外的主机都很方便，还包含备案服务。此外，科学院旗下的“中国科技网”也免费提供个人学术主页，应当说个人主页应有的功能他们都提供了，各位可以自行琢磨。总的说来，中国学者愿意制作主页的还不太多，我认为有必要着力宣导。今天就讲到这里，谢谢大家。
（全文完）