20201110一课研究之“借助数学模型 建构知识体系”
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听一听：如何认识小数？
读一读：“小数的初步认识”教学实践与思考
看一看：小数的历史
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录音选自史宁中主编的《基本概念与运算法则》
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借助数学模型 建构知识体系
——“小数的初步认识”教学实践与思考
数学概念不是孤立存在的，它们在本质上都是有联系的，因为数学中的任何一个概念，只有与其他的概念相联系，才能生成和发展。因此，教师要综合考虑知识之间的横向和纵向联系，从长程视野来设计概念教学，让学生经历数概念不断形成和扩张的过程。小数概念对小学生来说，是一个抽象的概念。笔者结合自己的教学实践，谈谈在《小数的初步认识》教学中，如何将抽象的数学概念与具体的直观模型结合，深入理解小数概念的本质，逐步构建起数的体系。
一、聚焦计数器，建构十进制模型
小数是怎么产生的？巩子坤教授曾在文中提到：“《九章算术》里面用的都是分数，没有出现小数。人类的测量活动，最早产生的也是分数、无理数，而不是小数。小数的出现，要比分数晚得多。小数可以说是人类按照自然数的十进制计数原则创造出来的数，它具有十进制自然数的所有特征，也满足十进制自然数的运算法则，因而用起来十分方便。”计数器作为小数“满十进一”的进制模型，能较好的体现小数和整数的联系，小数和整数的本质一样，满十进一，退一当十。教师可以利用计数器研究小数，从学生已有的知识经验出发，带领学生经历从整数到小数的产生与形成过程，沟通小数和十进分数之间的联系。
学生已经知道不同的计数单位是有它自己的位置的，表示几个十要在十位，几个一要在个位，几个百要在百位。在课的开始环节，教师让学生在计数器上找1.2元并画一画，让学生经历“再创造”过程。学生通过创造、思考、推理、合作、交流，发现0.2元比1元小，现有的个位、十位、百位等这些位置已经不够用了，就需要出现了一个新的位置，而且这个位置要在个位的右边，表示比1元更小的钱数。突破学生原有认知，在寻找这个新的位置过程中去感受，数位顺序表中越往左数越大，越往右数越小。然后再引导学生思考：这个新的位置跟个位有什么关系呢？学生结合已有的人民币的知识经验，理解个位的1表示1元，0.2元就表示2角，1元=10角，就是把1元平均分成10份，这样的1份是1/10元，就是0.1元。结合计数器观察发现，2个0.1是0.2，3个0.1是0.3……10个0.1就是1，也就是满十进一。个位满十，向十位进一；十位满十，向百位进一……原来小数部分跟原来的整数部分一样，也是满十进一的。反过来，从千位往下呢？退一当十……到个位，也是退一当十，就是把它再平均分成十份，所以这个数位就是十分位。
以上教学环节，借助计数器表示小数，使学生在不断地探索、对比中体会到，小数是由“1”进一步细分得到的，它与已学的自然数一样，相邻计数单位间的进率也是10。认识整数的时候，我们是从“1”开始一个一个地，往大里数；认识小数，我们也从1开始，往小里分。小数可以通过对0.1的叠加得到的，当满10个0.1时就得到整数1。从而直观体会整数与小数的内在联系，也是十进制计数法。
二、不同图形表征，强化概念本质
《课程标准（2011年版）》提到：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。”几何直观能凭借图形的直观性，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，帮助学生直观地理解数学知识的本质。借助“几何直观”，引导学生主动建构十进分数与一位小数的联系是认识一位小数的关键。教师要提供不同的图形给学生观察、比较、分析和概括，用丰富的模型体验揭示概念的本质属性以及外延，帮助学生掌握多维度的小数的概念。
在上述教学环节的基础上，教师通过课件将计数器这些珠子倒过来放平，珠子变成人民币、变成米尺、变成长方形，最后变成线段图（如下图），让学生在图形中找小数，感受小数和分数的联系。直观只是一个“脚手架”，我们还需要引导学生摆脱“脚手架”，从直观回到抽象。教师借助图形一次次引发学生思考：除了是1元、1米、还可以看成什么？图形不同，单位不同，这些小数有什么共同点？通过一系列追问，引导学生将单位从“元”转换到“米”，再让学生自由假设单位，并在不断调整的过程中体验到小数概念的本质：用什么单位并不重要，关键在于我们是否把1平均分成10份，并表示了其中的若干份。至此，学生对小数的理解才真正由具体的量上升到抽象的数。
以上的教学，教师将抽象的数学概念与具体的直观模型结合，借助计数器、米尺、人民币、长方形、线段图等图形，一次次结合直观图形表达小数的意义。学生感受到变化的是计量单位，不变的是十进制度量衡，沟通了小数与分数之间的内在结构关系。学生在经历概念的形成过程，对概念的理解进入了一个比较理性的认知阶段，经历了从直观数学模型到抽象数学模型的建构过程。
三、借助数轴模型，拓展数系结构
数学的产生和发展有两个途径，第一个是抽象，从生活中提炼而来，第二个是推理。抽象产生了数学，推理发展了数学。两位小数可以是在一位小数的认识基础上，根据前面的经验自然而然推理出来的。数轴是一种介于直观和抽象之间，又非常具有结构化功能的优质数学模型。教师可以通过在数轴表示小数的活动，让学生感受小数和整数、分数之间的联系。
借图形贯通小数意义的理解之后，教师引导学生思考：我们找到了0.2、0.5，那么1.2、6.4、3.58又该怎么表示呢？当学生在0～1内无法找到1.2这个数时，就想到了延伸线段的长度。线段往两端延长，就形成了数轴。学生在数轴上，通过继续平均分1和2之间的线段找到1.2，对小数的认识从纯小数向带小数扩展。然后在数轴上寻找6.4，在此过程中，学生发现小数与整数密密麻麻地排列在数线上，无论小数还是整数，在数线上都是越往右，这个数就越大……在类比中帮助学生不断完善数系结构。最后让学生寻找3.58，它比3.5大，又比3.6小。因为小数的本质也是十进制数，凭借所掌握的知识，学生自主探索出3.5和3.6之间还可以平均分，其中的每一个点也表示某一个小数，就是两位小数。
在学习小数之前，数轴上任意两个自然数之间自然数的个数是有限的。认识小数以后，在数轴上任意两个数之间的数都是无限的，这是数结构的一种拓展。以上教学过程中，对静态的线段进行设计，把数的分类、数的大小、数的范围、数的无穷性等知识都渗透到动态变化的数轴中，学生对数轴上“点”的理解也更深刻、更到位的同时，将小数纳入数系中，拓展了学生的认知结构。
在小学数学教学中，数概念的学习是一个重要的内容。教师要从长程视野来设计教学，带领学生经历数概念不断形成和扩张的过程，借助数学模型深入理解数概念的本质，不仅要认识各种抽象的、符号意义上的数，还要把握数概念知识的基本结构，构建知识体系，更好地培养学生的数学思维能力，发展学生的数学素养。
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小数的历史
在古代，人们就经常会发出灵魂拷问：“四个人怎么平分五个苹果？这根棍子到底算多少长？不是整数到底要怎么计算呢?……”就这样，如何能够精确地表示这些数量成了难题。公元三世纪，我国数学家刘徽最早提出了小数表示的方法。当时，人们都是用小棍来表示数。比如三百四十二点一二，个位用竖着的小棒表示；十位用横着的小棒表示，其他数位依次横竖交替排列。接着阿拉伯数字出现后，就产生了各种不同的表示方法。而欧洲数学家直到十六世纪才开始考虑小数。荷兰人斯蒂文将小数部分的各个数字用圆圈圈起来，但是这样的记法很麻烦。于是大家开始纷纷献计：用逗号分一下、用一个小圆圏分隔开多好、用三角形才独一无二、逗号翻过来放也很不错……最后的写法结果嘛，相信大家都已经知道了，用小黑点来表示小数这个方法被沿用至今，成为如今通用的整数与小数之间的分界符。
审核人：沈武君、 洪希强