陈之领等：发掘内隐素材性资源 助力学生深度理解概念*

——以“空间两条直线的位置关系”教学为例

无锡市青山高级中学  陈之领    江苏省太湖高级中学  蔡旭林

无锡市滨湖区教研发展中心  王华民

数学课程资源一般是指用于数学教与学的各种资源，包括文本资源、社会教育资源、信息技术资源、环境与工具等所有元素，这些属于外显性课程资源．还有一种内隐性数学课程资源，包括内隐素材性资源和内隐条件性资源．内隐性素材性资源是指不以文本形式显性表述的、潜藏于显性知识深层的隐性知识，既包括数学背景知识、数学逻辑知识和数学审美、思想方法与理性精神，也包括过程性知识，它是伴随数学学习活动过程中个体的体验性知识，包括对知识产生、发展、结果、应用的体验．内隐条件性资源是研究如何构建一种适宜学生学习的课堂环境，学生独立思考与合作学习的合理配置与整合．概念教学无疑是数学教学的一个重点，本文以立体几何初步一节内容为例，侧重谈发掘内隐素材性资源，助力学生深度理解概念．

一、发掘数学知识内隐的背景资源，助力学生理解概念的形成与发展

数学知识的背景元素主要有现实生活背景和其他学科知识背景．有的背景没有以明确形式展现在教材里，它属于一种内隐性课程资源．一个数学概念或结论，如果能发掘与学生的生活密切相关的现实背景，将它融入到课堂教学中，使其作为学习知识的“先行组织者”，则有助于学生利用生活经验去同化知识、理解知识，同时可以使他们在心理上消除数学的“冰冷性”，感知数学的现实性．“1.2.2

也是通过角和距离，根据前面的等角定理，通过平行移动，化异面为相交直线，来刻画异面直线的相对倾斜程度，然后再引导学生给“异面直线所成角”下定义（两异面直线距离从略）．可见，发掘现实生活的背景元素资源，自然地提出问题，让学生借助已有的生活经验去理解概念的生长点，理解概念形成与发展的过程，做到知其然也知其所以然，而且有利于概念的迁移应用，可谓深度理解概念．

二、发掘数学知识内隐的逻辑资源，助力学生理解概念的体系

数学教学的展开是以知识为载体的，而知识是有逻辑关系的，有归纳逻辑、演绎逻辑和矛盾逻辑等，这些规律隐含在知识的内部，不易被学生发现和掌握，因此逻辑是内隐的．数学知识的逻辑资源指的是渗透在数学知识中的逻辑知识资源，包含教学内容的逻辑顺序，逻辑关系支撑着数学理论体系．对于某些内容，教师按着教材上的顺序教学，学生也是按教师的指令操作，这背后的逻辑关系是什么？为何是按这种顺序？不少学生是不清楚的，如果教师不向学生说明，那么学生的学习就带有盲目性，不利于学生理解概念．

“异面直线”包括异面直线的定义、判定和两异面直线所成的角等，这一新概念并非孤立存在，要在“空间两条直线的位置关系”这个体系中学习才能促进学生理解，才更有效．“空间两条直线的位置关系”教材上的顺序是：空间两条直线的位置关系（平行、相交和异面）→平行直线→公理4→应用1→等角定理→应用2→异面直线的判定→异面直线所成的角（特殊情形：异面垂直）．笔者思考如下问题：

（1）这样的顺序是否合理？介绍了异面直线，为何不是先学习异面直线的判定，再研究刻画两异面直线位置关系的角和距离，而要研究空间的平行直线？

（2）学生理解其中的逻辑关系吗？

（3）这样的教学顺序能否改变？

《普通高中数学课程标准》（2017版）中的数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动．数学知识是一种外显性课程资源，是数学文化的基础，教师要注意发掘潜藏于知识背后的文化资源，通过师生的互动、渗透、提炼和总结，助力学生理解概念的文化内涵．

数学知识负载着数学思想方法和数学精神：其一，数学思想是数学的灵魂，是数学文化最主要的现实表现，由于数学知识的产生、数学问题的解决和数学理论的应用都会受到思想的诱导和方法的制约^（1），而方法往往浮于表面，具有针对性；思想则潜于深层，具有普适性，因此需要我们发掘数学思想的内隐性．在本节教学中，通过类比法可以把平面中直线与直线的位置关系拓展到空间，其背后是平面与空间的化归转化思想，其实，这一思想也是立体几何整章的基本思想，它把三维空间问题转化为二维平面问题处理；本节直线与直线的位置关系以及之后直线与平面位置关系、判定定理等主干知识的表述，都有文字、图形和符号三种语言，熟悉三种语言的相互转化将有助于学生对知识的进一步理解．通过截取、构造全等三角形以证明等角定理解决问题的过程，大都运用了分类讨论思想；对直线、平面等概念的认识，使学生学会用有限（学生熟悉的模型）的眼光去把握无限．通过发掘这些问题背后的数学思想，更有益于学生进一步理解等角定理、平面等概念，以提升学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力．

其二，数学精神、数学信念是数学家们在追求真理、逼近真理的科学活动中，将数学思想方法内化后所形成的独特的精神气质，是数学文化的核心和精髓．数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容，数学美的实质表现为理性精神和结构美，它是以数学语言呈现出来的以和谐、对称、简洁等为主要内容的结构美^（1）．在情境导入的一组图片中含有高铁与公路，教师作适当介绍——这是一张靓丽的中国名片．课堂反馈，学生兴致高昂，在感受新时代祖国强盛的同时，民族自豪感油然而生．数学审美可以陶冶情操，在教学中，引导学生通过对空间图形的欣赏，既培育学生的空间感，也让其感受数学的形态美．之后，通过类比初中平面几何得出平行公理4，有文字语言、图形语言和符号语言三种语言，教师要引导学生欣赏文字语言“平行于同一条直线的两条直线互相平行”和符号语言

其三，还要发掘知识内隐的数学理性精神和育人目标，课本的例1和等角定理的证明过程，是依据定义和已知结论的演绎推理．作为教师，一要让初学者说出每一步的根据，做到环环相扣、步步有据；二要强调推理的规范性，既要按逻辑顺序，还需完整表达，通过逻辑推理的过程，有利于学生形成说话、办事有据、有理的思维习惯，体现立德树人的育人目标．

发掘数学知识内隐的背景资源、逻辑资源和文化资源等，既能帮助学生厘清知识的发展脉络，构建概念体系，助力学生理解概念形成与发展的过程，还能助力学生理解概念的文化内涵，助力学生准确、深刻的领悟数学概念的本质和思想，让学生学会有逻辑的思考与表达，培养学生理性精神，做到以文“化”人．