技术分享：竖直翅片间液桥体积计算模型

竖直翅片间液桥的研究包括3个方面：接触线、接触角和体积。现有研究表明竖直翅片间液桥的接触线为椭圆形；接触角可以通过与方位角有关的三次多项式表达。液桥的体积决定液桥受到的重力，目前已有将液桥假设为双曲线体的体积模型。但观察发现竖直翅片间液桥不能简单地采用双曲线体计算液桥的体积，因此需要建立一个能够计算竖直翅片间液桥体积的模型，用于评价液桥的排水特性。

本工作考虑到在重力和表面张力作用下液桥的接触角随方位角的变化，建立了能够计算竖直翅片间液桥体积的模型。

1、数学模型

1.1 建模对象

竖直翅片间形成的液桥如图 1 所示。液桥由空气-水交界面和水-翅片交界面两部分包裹而成。通过已知的翅片表面润湿性、翅片间距和液桥尺寸可以得到空气-水弯曲线和水-翅片接触线，然后分别得到空气-水交界面和水-翅片交界面，最后通过积分的方法求得液桥的体积。

1.2 水-翅片交界面的接触线方程

水-翅片交界面的形状如图 2 所示。其形状可以表示为椭圆方程：

1.3 空气-水交界面的弯曲线方程

竖直平板间的弯曲线轮廓如图 3 所示。

弯曲线 方程可以由 Young-Laplace 基本方程[式(4)]推导得 到。方程左项是考虑重力作用下弯曲线液面的内外压差，可由式(5)求解得到；方程右项可以由曲率计算公式[式(6)]求解得到。将式(5)和式(6)代入式(4) 可以得到液桥弯曲线的曲率公式[式(7)]。

式中，Δp 是交界面压差，R1和 R2 是主曲率半 径，Δρ 是水和湿空气密度差，g 是重力加速度，x 是弯曲线上任意一点的纵坐标，σ 是表面张力系数。对式(7)左右两侧同时进行积分，如式(8)所示，即可以得到弯曲线的斜率公式[式(9)]，式(9)中的系数A可以通过式(10)计算。

式(9)是弯曲线的斜率方程，但该方程并没有封 闭解析解。因此，为了更方便地求解，本工作引入四次方程[式(11)]拟合弯曲线，并通过式(12)和式(13) 所示的边界条件确定四次方程的待定系数。

式中，c1、c2 和 c3 是待定系数，x0表示弯曲线 最低点p0的纵坐标。因此，最终的弯曲线形状的四次方程可以表示如下：

图 4 是解析方程与四次拟合方程关于弯曲线在 x 轴右半部分的对比，由图可知四次曲线与解析曲线吻合较好，因此可以用四次曲线表示液桥的弯曲线的形状，从而为进一步积分求解液桥体积提供方便。

1.4 液桥体积模型

式(14)中的参数 L 和 θ 是与方位角 γ 有关的变量，具体关系如下所示。

式中，L(γ)表示随方位角 γ 变化的椭圆接触线弦长；L0表示方位角为 0 时的椭圆弦长，即椭圆长 半轴；θ(γ)表示随方位角 γ 变化的液桥接触角。液桥体积可以通过积分求得。对于 z 的积分从 –d/2 到 d/2，对于 γ 的积分从 0 到 2π，如图 5 所示。液桥的体积可以用积分的形式表达为：

式中，L(γ)表示随方位角 γ 变化的椭圆接触线弦长；L0表示方位角为 0 时的椭圆弦长，即椭圆长半轴；θ(γ)表示随方位角 γ 变化的液桥接触角。液桥体积可以通过积分求得。对于 z 的积分从–d/2 到 d/2，对于 γ 的积分从 0 到 2π，如图 5 所示。液桥的体积可以用积分的形式表达为：

2、模型验证

2.1 实验目的

通过可视化实验观测液桥轮廓，并对比实验中 液桥体积与模型计算得到的液桥体积结果，进而达 到验证模型的目的。

2.2 实验原理与装置

本实验的工作原理是在竖直平板间滴注液体形成液桥，通过 CCD 相机拍摄液桥轮廓，并采用图像处理技术进行分析。实验需要测量的量包括平板的前进接触角θA、 液桥长度L 和平板间距 d。

通过这3个实验量作为 输入量代入计算模型中计算液桥体积，并对比液桥体积的模型计算结果与实验滴注的液桥体积值V，从而得到模型预测值与实验值的误差。液桥体积的实验验证装置包括液体注射系统、翅片样件系统、拍摄系统和旋转系统，如图 6 所示。

2.3 实验步骤

本实验包括两个步骤。

（1）在竖直翅片间注射蒸馏水，形成液桥。竖直翅片由两个平板组成，通过调节垫片厚度可以调节翅片间距。翅片样件通过螺丝与接触角测 量仪测试平台进行固定。通过注射器向翅片间注射 蒸馏水，从而形成液桥。

（2）拍摄液桥轮廓，并获得液桥体积数据。通过旋转系统可以使拍摄角度达到 0°～90°。CCD 照相机可以在 0°时拍摄液桥的正视图，在 90° 时拍摄液桥的侧视图，从而获得液桥的基本参数。通过接触角测量仪自带的液体注射系统可以控制滴 入液桥的体积，从而与模型预测值进行对比。

 2.4 验证结果与讨论

图 7 显示了模型预测与实验数据关于液桥体积的误差，其中符号×表示无重力计算模型与实验的误差，符号○表示有重力计算模型与实验的误差。无重力计算模型可以在±40%的误差范围内描述100%的点，平均误差为20.15%；有重力计算模型可以在±15%的误差范围内描述95%的点，平均误差为7.12%。

对于考虑了重力作用的计算模型，预测结果与实验结果的误差是由于对固体表面的前进接触角和后退接触角描述的不准确引起的。在实际的实验样件中，固体平板是表面特性不均匀的，在平板上的 各点其前进接触角和后退接触角不一致，通过实验对平板上、下、左、右、中 5 个不同位置点进行测量，取平均值作为实验的测量值，见表1。在模型 预测中，固体表面特性是均匀的，各点的前进接触角和后退接触角一致，直接采用实验得到的平均值作为输入参数。因此，模型预测的结果与实验结果存在误差。

竖直翅片间液桥的最小接触角会在前进接触 角和后退接触角之间变化。在工程计算中，为了简化液桥体积的计算过程，最小接触角通常被认为近似等于后退接触角。这种近似很可能会对液桥体积的计算造成较大的误差，因此需要了解液桥最小接 触角的取值对液桥体积计算的影响。

图 8 反映了最小接触角取值对液桥体积计算结果的影响。由图可知，液桥的最小接触角会对液桥体积的计算结果造成很大的影响。采用θmin = θR的 近似计算液桥体积会造成最大 17.3%的计算误差。因此，在计算液桥体积时，不能用后退接触角直接代替液桥的最小接触角进行计算，而应该采用本文使用的式(16)进行求解。

3、结论

（1）竖直翅片间液桥体积可以通过对弯曲线沿着接触线进行积分求得。

（2）水-翅片交界面的接触线可以用与长短比有关的椭圆方程表示；空气-水交界面的弯曲线可以由四次方程对弯曲线方程进行描述。

（3）液桥形状的模型预测结果和可视化图像吻合较好；液桥体积的模型计算结果可以在±15%的 误差范围内描述 95%的点，平均误差为7.12%。

（4）液桥体积的计算不能将后退接触角近似等于最小接触角，这种近似会造成最大 17.3%的计算误差。

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