材料力学关于压杆稳定性问题 / 开普饭

杆件稳定性

材料力学称长度远大于横截面尺寸的构件为杆，杆的基本几何特征为横截面与轴线，根据轴线是否弯曲分直杆与曲杆，根据截面是否变化分等截面杆与变截面杆。将轴线为直线且截面沿轴线不发生变化的杆称之为直杆。杆件的基本力学行为是拉伸与压缩，一开始就学到这个。而标题所谓的压杆，即受到压缩作用的等截面直杆，它的长度尺寸远大于横截面尺寸，且截面是圆形。

前面做过杆件的拉伸压缩试验，其中在压缩脆性材料时候和塑性材料得出不同的结论。做试验用的都是短的杆，得到如下现象：

工程存在一些细长的杆件，受到压缩时，首先是弯曲而非断裂。由此得出的结论是刚度差，而非强度不足。如果撤掉作用在杆轴线方向外压力时，杆件能够恢复初始构形，则称这种状态为稳定状态。而如果处在轴向外压力作用时且受到一个微小的横向扰动，撤掉外载荷以后杆件无法恢复初始构形，则称杆件为不稳定状态。可能这么说的不够形象，周老师书籍列举了一个十分优秀的例子，如下所示：

上图球在12区间，撤掉扰动以后，球可以回到初始状态。球在23区间，受到扰动以后会有一个新的位置，区间内力等于临界载荷。到达3点，结构是失稳的，扰动导致球向下滚落。在34区间会快速通过到达一个新的平衡位置，称为后屈曲。

杆件无论是否能够恢复至初始构形，它都是平衡的，但是有的平衡是稳定的，如刚才说的它能恢复初始未受扰动的状态，有的平衡是不稳定的，如受到扰动以后不再恢复到扰动前。杆的平衡状态是否稳定与外载荷有关，亦与结构自身特征有关，因为同一结构下，不同载荷可能会使结构处于稳定平衡，也可能使平衡不稳定。而同一载荷，不同的结构，有的结构在此载荷下能够保持稳定的平衡，有的无法保持。在压杆一节说到，能使压杆保持稳定平衡状态的最大轴向外载荷，或者说能够使结构变得不稳定平衡的最小轴向载荷，称之为临界载荷，对应的应力称之为临界应力。结构丧失稳定平衡状态所需的最小临界应力并不一定高于材料的比例极限。即在线弹性范围内，结构就有可能发生失稳。这句话暗含，结构的临界应力比材料的比例极限，对于压杆设计更加有用，所以压杆设计以稳定性为基准。

下图是受压杆件一些常见的结构：

欧拉压杆计算（弹性失稳压杆）

材料力学里面提到的压杆指的是欧拉压杆，常见的推导计算过程如下，无需记忆具体是如何推导的，需要理解其中一些问题：

在推导压杆临界压力的过程中“微小变形的，挠曲线近似微分方程”，那么也就相当于给出了欧拉临界压杆计算公式的假设条件为：小变形、细长杆。

假设条件是符合材料力学的基本设定的。我们在学习梁时，也曾注意到细长这个问题，当时提到对于跨高比大于一定值的梁采用材料力学近似计算方法相比弹性力学误差是极小的，而工程中实际结构梁一般都满足这个跨高比。弹性力学计算是考虑了横截面的剪切应变，材料力学是忽略掉了，前者对应的是Timoshenko梁，后者对应欧拉伯努利梁。至于这里提到的小变形主要事关杆件刚度评定问题，杆件的变形分为横向与纵向，横向转动与纵向收缩。在小变形情况下（材料力学范畴），通常忽略纵向收缩变形量，而如果是大变形问题，纵向收缩便不可忽略。材料力学要求是线弹性，因此欧拉临界应力应该是小于材料的比例极限的。如果超过了比例极限，则挠曲线方程不满足要求。

其次在建立挠曲线方程过程中，我们是假设杆件是在平面内弯曲，实际上对于一个空间构件来讲，它的弯曲方向有很多种，且与干的约束情况有关。

最后一点，材料力学的对象是理想均质弹性体。实际材料很难做到均质，并且也不可能都是线弹性本构关系。所以实际受压时，可能尚未达到理想（理论）临界载荷就已经发生失稳，因此不可避免的又要从安全系数考虑这一部分，只是在做实验时候，我们应该清楚存在这样的差异。