老胡观点：一道小学二年级数学题引发的争论——基于小学数学思想方法渗透的思考

（一）

我们先看一道小学数学题目：

一根圆柱锯3段要18分钟，那么锯6段需要几分钟？

某学生的答案是这样的：

18÷3×6

=6×6

=36（分钟）

（二）

这是小学二年级的一道数学题目及某学生的答案。

我们把这道数学题目及答案发给了部分数学教师，并配上了这样一句话：“二年级的数学题，这样算对吗？”

部分教师纷纷回复如下：

教师1：不对，答案应该是18÷（3-1）×（6-1）=45，这道题目有点像脑筋急转弯。解决问题需要审题、画图、理清数量关系了，再下笔计算。

教师2：刚才给我们家妞说了，她和上面那个计算的一样。画图了也没用，知道锯三段只需两下，但还是错，说明思维不到啊。

教师3：不看答案，这道题我是不会的。这道题目考的不是计算的问题，而是数学思想方法的问题。

教师4：错了。锯成3段只需要两次，平均每次9分钟，锯成6段需要锯5次，共45分钟。这里面也有数学规律，可以归纳出一个计算公式的：18÷2（n-1），即9（n-1）。

教师5：锯三段要18分钟，也就是说锯一次分2段要9分钟，锯成6段最少用三次，就是27分钟。

……

就是这样一道看似简单的小学二年级数学题目，却引发了老师们的积极思考和激烈争论，甚至是部分教师也出现了这道题目算错的现象，其中自然也包括我在内。事实上，当看到这个题目和答案的时候，我们认为某学生的这道题目答案并没有错啊！但经过仔细分析和讨论，事实上这个学生的答案就是错误的。

（三）

那么，某学生的这道数学题目答案错在哪里呢？

我们分析认为，某学生的答案错在该学生没有认真审题，没有理清楚题目中的各种数量关系，没有找出题目内在的规律性等。正如教师4分析的那样：“锯成3段只需要两次，平均每次9分钟，锯成6段需要锯5次，共45分钟。”如果进行数学计算的话，就是这样的：“18÷（3-1）×（6-1）=45”。显然，这道题目里有一定的数学内在规律：应该先认真审题，理清各种数量关系，然后才是数学计算。因此，这道题目不是简简单单的数学计算问题，而是蕴含着一定的数学思想方法。

由此可见，要想正确解答这道数学题目，学生需要掌握一定的数学思想方法是至关重要的。也就是说，学生只有具有了正确的数学思想方法，才能够正确解答该道数学题目。否则，就会像上述某学生的错误答案一样。

《数学课程标准》（2011年版）要求：学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”

不言而喻，培养学生学会数学的思维方式即数学思想方法，是我们中小学数学课程的一个重要目标之一。因此，我们的数学课堂教学发生了巨大的变化：由过去“双基”教学向“四基”教学的转变，即由“基础知识、基本技能”（双基）向“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”（四基）的转变。对于学生而言，数学学习仅仅掌握一些基础知识、基本技能显然是远远不够的，学生还要学会思考，还要在活动中去经历和体验。学生的基本思想和基本活动经验，就是在知识和技能基础上发展起来的，这个发展其实就是学生学会运用数学思想方法进行思考和解决实际问题的过程。

正如苏霍姆林斯基所说：“儿童的时间应当安排满种种吸引人的活动，做到既能发展他的思维，丰富他的知识和能力，同时又不损害童年时代的兴趣。”

（四）

那么，什么是数学思想方法？

百度百科认为，所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点。它揭示了数学发展中普遍的规律，直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。

所谓数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。小学数学通常把数学思想和数学方法看成是一个整体概念，即数学思想方法。

基于上述数学思想和数学方法概念及其内在联系，我们认为小学数学的基本思想方法主要有：

数形结合思想方法、转化思想方法、分类思想方法、类比思想方法、假设思想方法、类推思想方法等。当然，我们这样简单的分类并不一定十分科学，还有待于进一步论证和完善。

在征求了部分小学数学教师意见基础上，我们就上述的那道数学题目，看看具体可以使用哪些数学思想方法来解答吧？

1.类比思想方法。首先，要找到题目中提供的已知条件是“锯3段要18分钟”，那么分析锯一次需要多少分钟？然后再结合提出的问题是“锯6段要几分钟”，类比得出锯5次合计需要45分钟。

2.数形结合思想方法。画出示意图，用一条线段表示“一根圆柱”，在线段上画出3段，观察需要锯2次，那么每次显然是9分钟。再画一条线段，锯6段观察需要锯5次，那么根据示意图再进行数学计算，不难得出结果，即45分钟。

3.类推思想方法。我们可以采用类推的方法，比如，锯成两段需要锯1次，锯成三段需要锯2次，锯成四段需要锯3次……让学生发现锯成六段合计需要锯5次。然后再根据已知条件锯成3段需要18分钟，算出锯一次的时间为9分钟，最后得出锯5次需要45分钟。

不难看出，在解答上述这道题目的过程中，我们可以使用类比思想方法、数形结合思想方法和类推思想方法等三种数学思想方法进行正确解答题目。尽管使用这三种数学思想方法在解答问题过程中各有特点，但都能够较为准确、快速地解答这道题目，并增强了学生的数学应用意识。由此可见，学生学会使用数学思想方法解决实际问题，这不仅有助于解答数学问题，提高解题效率，而且还能够激发学生数学学习的求知欲和趣味性。

结束语

我们来看一则寓言故事——《木匠家的门》：

一个木匠做得一手好门。

他给自己做了一扇门，他认为这门用料实在、做工精良，一定会经久耐用。

后来，门上的钉子锈了，掉下一块板，木匠找出一颗钉子补上，门又完好如初。后来又掉下一颗钉子，木匠就又换上一颗钉子。后来又有一块板坏了，木匠就又找出一块板换上。后来门闩损了，木匠就又换了一个门闩……

于是若干年后，这扇门虽破损过无数次，但经过木匠的精心修理，仍坚固耐用。木匠对此甚是自豪。

忽然有一天，邻居对他说：“你是木匠，你看看你家这门？”木匠仔细一看，才发觉邻居家的门一扇扇全都样式新颖、质地优良，而自己家的门却又老又破，满是补丁。

于是木匠明白了：是自己的这门手艺阻碍了自家门的发展。

这则寓言故事告诉我们一个道理：

木匠的做门水平很高，但只知道修修补补自家的门，从来没有想过要做一扇新门，这显然是木匠的思想方法被禁锢或不懂变通的缘故。其实，木匠只要懂得变通或转变思想方法，那么就不会一直修修补补自家的门，最终才导致自家门又老又破，满是补丁。

同理，这道题目如果某学生掌握了一定的数学思想方法，显然这道题目就不会做错的。可见，学生能否掌握一些数学思想方法，“去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题”是非常具有现实意义的。

美国心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”我们认为，学生数学学习的精髓不在于学习数学知识的本身，而在于学习数学知识中所蕴藏的数学思想方法；教师数学教学的目的也不在于学生掌握了多少数学知识，而在于学生是否能够掌握和运用数学思想方法来解决实际问题的能力。因此，在数学课堂教学过程中，我们数学教师应注重数学思想方法的渗透，让学生真正成为数学思想方法的“主人”，不断提升数学思维品质。

（作者胡远明，郑州市教育科学研究所）

（说明：在本文的撰写过程中，得到了宋君、刘荣霞、耿素素、常立钢、牛志强、李斌、夏春艳、李瑞华等数学名师的指导，在此一并表示感谢。）