徐老师课堂——巧用“过定点的圆系方程”

本来上周我就要写一篇关于数学内容的专业推送，无奈俗事缠身，不得闲暇，今天正好有空，就把这个事了结吧。在此哥为广大高中党们总结一下“利用过定点的圆系方程求圆”的方法。

闲言少叙，开始上课！童鞋们，看到下面这个题目，你们会怎么做？

没有学过“圆系”的同学，一定是将直线方程和圆方程联立，求出两个交点坐标。然后要么设所求圆的一般方程，把三个点坐标代入，求D、E、F；要么就是在三个点中任取两点，求中垂线，两条中垂线相交求圆心，再用两点间距离公式求半径，写出所求圆的标准方程。

但是这两种方法，都需要大量的计算，在考试中可操作性不强。如果你掌握了“过定点的圆系方程”这个武器，就可以很轻松地解决此类题目了。

为了学习“圆系方程”，我们先来回顾一下“过定点的直线系方程”。例如下面这个方程。

像这种在一个方程里除了x、y，还有第三个未知数的直线方程，我们就叫做“过定点的直线系方程”，因为我们可以把此方程整理成这样。

由此式可以看出m取不同的值，代表不同的直线方程，但无论m取何值，只要满足以下方程组的x、y，就永远满足该方程。

即无论m取何值，只要x=2、y=4时方程恒成立，因此可以说明这些直线恒过定点（2，4）。

上面的“过定点的直线系方程”其实可以看成k（   ） （   ）= 0，那么如果在两个括号里填入直线方程和圆方程（或者两个圆方程）呢？

对，你很聪明，这个方程就变成了过直线和圆交点（或者过圆和圆交点）的圆系方程了。回到开始的题目，我们可以把经过直线x y 1=0和经过圆x² y²-2=0交点的所有圆的方程表示为

在这些圆里，我们求的是经过点（1，2）的圆。那好，把该点坐标代入上面的圆系方程里，得到k=-¾。把这个结果再代回到刚才的圆系方程里，得到以下方程。

这就是经过直线x y 1=0和圆x² y²-2=0交点，又经过点（1，2）的圆的方程。

你学会了吗？什么，还不太熟练？别着急，我们再看一道题：

既然是求经过这两个圆交点的圆方程，我们先设所求圆方程为这样：

然后整理成一般式，并求出圆心坐标

接下来，我们就要看看所求圆还要满足什么条件？嗯，“以公共弦为直径”这句话是什么意思呢？这就是说圆心是公共弦的中点，那么圆心一定在公共弦所在直线上（命题人好坏哦，看我用小拳拳打你胸口）。

好吧，我们再求两个相交圆的公共弦所在直线方程，如下图：”

求出公共弦直线方程之后，把刚才的圆心坐标代入，就可以求出K的值了。

代回圆系方程，就得到所求圆的方程。

惊不惊喜，刺不刺激，简不简单？

如果你已经掌握了上面的方法，请试着做一做这道作业题吧！

---

专业讲解，良心收费

该赞赏码为苹果用户量身打造