重庆南开中学高2021届月考第12题:递推数列的综合问题

重庆·云师堂

怎样才能在半期考试中取得好成绩?
两条:①每天刷100道数学题;②每天不洗脸。
啊?不洗脸???
你看,我就知道你不会注意到第一条。
1  围观
一叶障目,抑或胸有成竹

递推数列在重庆较为新奇,在浙江却是家常便饭。
这类题动辄压轴,综合性强,难度大,思维要求高,备受命题者青睐。鉴于数列与函数之间有着密切的联系,相信未来这样的题目会比比皆是。
研究递推数列,最好的办法自然是求出通项公式(就像函数求解析式,概率求分布列一样)。很遗憾,大多数列都很难求出通项公式,甚至根本就求不出,所以不得不另辟蹊径。
下面介绍两种方法:①迭代放缩法;②不动点蛛网法。
2  套路
手足无措,抑或从容不迫
选项A不难判断,只需熟练掌握对数的运算即可。当然,也可直接估算,ln2≈0.7,很容易得出结论。
选项B,先判断函数的单调性,再迭代放缩即可得到结论。当然,取几个特殊值来判定也未必不可,尽管不严谨,但不影响得分。
选项C最简单,不费吹灰之力,前提是先判断选项B正确。
选项D相对是最难的,不妨先用分析法推理,再用综合法书写:
蛛网法是解决递推数列单调性与敛散性的有力工具,尤其适合小题。解题的关键在于准确作出特征函数的图象(包括单调性、极最值、凹凸性、不动点等)。
对于选项C,其判断与法1一致;而选项D,这里采用切线放缩,看似较之法1略胜一筹,实则本质一致。
3  脑洞
浮光掠影,抑或醍醐灌顶

1.函数的不动点:
2.数列的不动点:
4  操作
形同陌路,抑或一见如故

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