自然哲学的数学原理，第五章引理18

首先要说明的是，包括上一篇《自然哲学的数学原理，第五章引理 17》、本篇、以及接下来可能会写到的几个引理，都是我在文末所附文章一系列的前提。

引理 18 是引理 17 的逆命题，下面的文字已经是我在中文版原文基础上调整过了的：由一点 向给定的四边形 的四条边 、、、 分别作线段 、、、，且与各边所成角一定，同时 一定，则点 在一条经过 四个点的圆锥曲线上。（下图比原著多了 、 两条线段，以示定比）

笔者提几点说明以方便读者：

第一，题目要求 、、、 四条线与对应的 、、、 分别成指定的角度，是可能相同也可能不同的，举例来说，可能要求 是 ， 是 ，如此等等。

第二，经过 四点的圆锥曲线显然有无数条， 点到底在哪条圆锥曲线上，当然要视过 所作线段与 四边所成角度及 的具体值而定，而这些一旦定下来，满足这些条件的一系列 点将构成同一条经过 四点的圆锥曲线。

第三，原著在证明的开头有这样一句：“设圆锥曲线通过点 、、、，以及无限多个点 中的一个，例如是 ：”我总感觉看不懂，后来觉得这里又是个笔误——前一个大写的 似乎应该是小写的 ，因为后文涉及到一个小写的 ，但没提到它是什么。

第四，本引理是在引理 17 的基础上用反证法证明的，在上面所引用部分之后马上就接着“如果否认这一点”。但上图并没有给出反证法涉及的图线。

牛顿在这一引理后加了个推论：如果由一点 向三条已知线段 、、 分别作线段 、、，且与各边所成角一定，同时 一定，则点 位于与 、 相切于 、 点的圆锥曲线上，反之亦然。

这之后还有一个附注，说的是本引理提到的圆锥曲线，包括圆和相交直线等特殊情况，另外各点顺序的不同不影响结论（如下图）。自然，原著不像我这里只是一笔带过，而是详细论述了一番，其中用到了“趋近”“重合”“无限远”“收敛”等词汇。

最后再说一个《原理》中的习惯问题：就笔者不充分阅读下来的感觉，牛顿喜欢以大写字母代表定点，以小写字母代表动点（现代电子技术领域则是以大写字母代表直流量，小写字母代表交流量，似乎是其遗风）。现代则是以大写字母表示点，小写字母表示线，同类的以相同字母带撇号或者下标区分。现在颇有一些文章介绍数学符号的由来，而几何学中我们现今所学的规范是如何形成的，似乎还没有人研究。