高考试卷中的平面向量基本定理系数等值线

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正文开始：

今天我们来看2017年全国Ⅲ卷理科12题（怎么感觉全国卷只有卷Ⅰ难，河北的考生真苦）：

我们知道向量的坐标运算最为简单，而题目中有标准的垂直关系，我们不妨建系来完成。

如图：

实际上这道题蕴含着平面向量的等和线，利用等和线可以秒杀这道题，什么是等和线，我们先从平面向量基本定理谈起。

基本理论

（一）平面向量共线定理

（二）等和线

（三）等差线

（四）等积线

（五）等商线

（六）等平方和线

我们也可以从另一个角度来理解这些等值线的实质。

在之前的文章中，我有介绍过平面仿射坐标系，我们知道，在仿射变换下，我们可以处理一些不变的量：长度比、面积比、点共线、线共点和向量的线性关系等。而且在平面仿射坐标系中，直线方程仍是二元一次方程，二次曲线的方程是二元二次的。

我们接下来解决高考题目：

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