计及大地影响的轨道电路钢轨自阻抗计算研究

张友鹏，王东，赵斌，贾智

(兰州交通大学 自动化与电气工程学院，甘肃 兰州 730070)

摘 要：钢轨自阻抗是轨道电路计算分析的重要参数之一，其值大小直接影响轨道电路的传输性能。针对考虑大地影响，利用Carson公式计算钢轨自阻抗时存在积分上限难以确定及被积函数高频震荡问题。提出采用核函数分段线性逼近法求解被积函数，并利用截断法将无穷上限积分转换为有限积分，得到精度更高的钢轨自阻抗计算方法。建立轨道电路模型，采用有限元法仿真计算，验证该计算方法的正确性。将该方法计算结果、Carson单项近似法计算结果同仿真结果对比，验证该方法的计算精度。利用该方法分析电流频率、轨道高度及大地电导率对钢轨自阻抗的影响规律。研究结果表明：该方法计算结果与仿真结果误差小于6%，计算精度更高，且正确反映了各参数对钢轨自阻抗的影响规律，从而为精确计算轨道电路钢轨自阻抗及分析轨道电路传输特性提供可靠的理论支撑。

关键词：钢轨自阻抗；Carson公式；核函数；分段线性逼近；截断法；有限元

电气化铁路中，轨道电路作为列车运行控制系统的关键设备，主要用于传递列车控制信息、检查轨道线路是否空闲，以保证列车安全高效的运行[1]。钢轨阻抗作为轨道电路设计中重要的电气参数，其值是影响轨道电路传输性能的关键因素。而钢轨自阻抗作为钢轨阻抗的一部分，准确计算钢轨自阻抗是分析轨道电路传输特性及设计轨道电路的基础，同时，也为牵引供电系统建模时钢轨自阻抗的计算提供新的计算方法[2]。钢轨铺设在地面之上，类似于架空导体，而针对架空导体自阻抗的计算，国内外学者做了大量研究。Carson等[3-4]研究了以大地为回路的架空导线阻抗计算问题，为钢轨自阻抗计算提供了理论基础。Butler-Purry等[5]采用Carson公式的无穷级数展开，仅取第1项近似计算了架空导线的自阻抗，计算结果误差较大。Deri等[6]使用复穿透公式，考虑大地的集肤深度，近似计算了架空导体的自阻抗、互阻抗。朱军等[7]运用复数镜像法，计算了架空导线-地回路阻抗。杜学龙等[8]考虑大地影响，基于Carson简化公式(Deri地阻抗公式)，采用泰勒级数展开计算了相邻轨道电路的互阻抗，并分析了大地电导率、轨道高度等参数对互阻抗的影响，未提及钢轨自阻抗的计算，且计算公式过于简化，忽略了阻抗计算中的电阻部分。Hill等[9]基于电磁场有限元法仿真计算了单线轨道电路的钢轨阻抗，分析了电流频率、幅值、大地电导率等参数对钢轨自、互阻抗的影响，并使用Carson阻抗公式和实验测量数据进行验证，表明有限元法可以准确计算钢轨阻抗，但计算所需资源较大且对操作人员有技术要求。DU等[10]将钢轨自阻抗分解为内阻抗和外阻抗，分别使用有限元法和Carson公式求解内、外阻抗，其中，求解外阻抗时，采用渐近近似法求解了Carson公式，导致计算结果精度较低。焦彦军等[11]基于Carson阻抗公式，提出函数替代法，替代Carson公式中震荡的被积函数，推导出计算架空传输线路分布参数的新方法，但计算过程比较复杂。ZOU等[12-13]研究架空导体互阻抗时，采用矩函数方法和截断法计算了Carson互阻抗公式，但未提及导体自阻抗的计算。目前，针对架空导线自阻抗的计算一般采用有限元法和Carson公式，有限元法计算精度高，但所需计算资源较大，而Carson公式难以直接计算，多数采用近似计算，计算精度低。基于以上分析，本文基于Carson公式计算轨道电路钢轨自阻抗，针对该阻抗公式中存在被积函数高频震荡、积分区间无限问题，采用核函数分段线性逼近法对阻抗公式中的被积函数进行计算，并利用截断法对积分区间进行截断，得到钢轨自阻抗计算方法。为验证该计算方法的合理性和准确性，建立轨道电路钢轨自阻抗电磁场模型，基于有限元法仿真计算钢轨自阻抗，并采用Carson单项近似法直接解析求解，将本文计算结果、Carson单项近似法计算结果同有限元仿真结果对比，本文方法误差小于6%，得到计算精度更高的自阻抗计算方法。利用该方法分析电流频率、大地电导率、轨道高度对钢轨自阻抗的影响，从而为钢轨自阻的精确计算及抗轨道电路传输特性分析提供理论依据。

1 钢轨自阻抗公式

1.1 钢轨自阻抗

钢轨自阻抗是指考虑大地影响的钢轨自身阻抗，主要包括钢轨的内阻抗与外阻抗，其中外阻抗是指钢轨的纵向阻抗(当钢轨与大地均为理想导体)及钢轨-地回路阻抗(当大地为有损导体)。对于钢轨内阻抗，其仅与钢轨的材料参数、电流大小、频率相关，与大地无关。而对于外阻抗，其大小与电路结构、大地电导率有关。考虑大地影响，单线轨道简化模型如图1所示。本文仅计算钢轨自阻抗，未涉及钢轨互阻抗的计算，在理想状态下，2根钢轨的自阻抗相等，因此，计算时仅计算单根钢轨的自阻抗。

图1 单线轨道简化模型

Fig. 1 Simplified model of single track

1.2 Carson阻抗计算公式

1926年，Carson提出以大地为回路的架空线阻抗计算公式，为电流流经大地情况下架空线阻抗计算提供理论基础。图2为地面上单条架空线，架空线a位于地面上一定高度。

团队管理的基本要素，是促进团队提高其业绩的重要保证，也是团队发展的重要条件，同时对促进企业规范化管理和发展具有重要作用。基于此，本文在学习型组织理论的基础上，提出团队管理的优化措施，进一步丰富团队管理方式的相关理论，对企业经济效益的实现具有重要参考价值。

图2 地面上单条架空线

Fig. 2 Single overhead line on the ground

考虑大地影响，基于Carson公式，架空线a的自阻抗可表示为

(1)

式中：Za为架空线内阻抗；

和

分别架空线的纵向阻抗与架空线-地回路阻抗。

式(1)中，架空线外阻抗

和

为

5）使用仪器，通过过流保护使装置报“跳闸”信号，可以手动复归；控制回路断线引起的装置告警信号在装置面板上无法手动复归，当且仅当将装置掉电重启后可手动复归一次，若复归后再出现由控制回路断线引起的告警仍无法手动复归。

(2)

(3)

式中：

为虚数单位；

为角频率(f为电流频率)；μ0为真空磁导率；ha为架空线离地面的高度；ra为架空线a的半径；t为积分变量；γ为复传播常数的大小。

复传播常数

及其大小γ为

(4)

式中：σ为大地电导率。

从式(3)可知，架空线-地回路阻抗表达式中含无穷上限的震荡积分，直接计算该积分存在一定困难，因此，本文提出核函数分段线性逼近法和截断法计算该阻抗表达式中的架空线-地回路阻抗。

试验选取浸取温度55 ℃，浸取时间60 min，测定液固比对Ba2+、OH-浓度以及水溶性钡去向的影响，试验结果如图8、图9。

1.3 架空线-地回路阻抗计算

为克服架空线-地回路阻抗求解困难问题，利用核函数[14]分段线性逼近法求解被积函数，并采用截断法对积分区间进行截断。在式(3)中，由于积分区间为无穷上限区间，因此，令

，进行积分变量替换，将其代入式(3)，得到

缅甸的蓝宝石主要产在抹谷地区，不过产出的地质条件与其红宝石不同，红宝石产自变质的大理石岩中，而蓝宝石产自伟晶岩、霞石刚玉岩和正长岩中，称得上是佳品的优质蓝宝石，产量较少。

(5)

式中：p为

。

为计算式(5)，首先定义核函数为

问题2：汽车油箱储油3升，每分钟流出0.002升，求油箱剩余油量P升和流出时间t（分）之间的函数关系式。（再从发展的角度找到问题源）

(6)

式中：

和

为核函数的实部与虚部。

由式(6)可知，核函数与频率、大地电导率等无关，仅与积分变量有关。核函数实部、虚部表示为

由中国造纸协会生活用纸专业委员会承办的《生活用纸》杂志,自1993年创刊以来，经过20多年的不断努力和改进，已成为生活用纸及相关行业从业人员的重要信息来源和参考资料。

(7)

根据式(7)，绘制核函数实部与虚部随积分变量

的变化规律，如图3和图4所示。

从图3和图4中可以看出，核函数的实部与虚部随积分变量λ的增大而减小，甚至逐渐趋于0，其实部较虚部而言，衰减更快，即核函数的实部与虚部均收敛。

其次，采用截断法对无穷上限积分区间进行截断，并将式(5)中积分拆分为实部积分和虚部积分两部分，其可表示为

(8)

式中：

和

分别为实部和虚部积分区间的上限截断值。

三是优化产能建设方案。针对不同类型油藏的特点，加强前期研究，以室内研究为基础，以现场试验为依托，提高对油藏的认知程度，优化工艺技术，增强产能建设方案的针对性。

图3 核函数实部

Fig. 3 Real part of the kernel function

图4 核函数虚部

Fig. 4 Imaginary part of the kernel function

根据核函数的渐近近似，由式(6)和式(7)可知，核函数可近似为

(9)

根据式(8)和式(9)，得到实部与虚部积分区间的积分上限值计算公式为

(10)

式中：m是表征核函数近似精度的数量级大小，取m=-10。

式(10)为非线性方程，无法直接求解计算方程的根，而牛顿迭代法适用于非线性方程求解。首先，将非线性方程表示为函数，通过对函数作泰勒展开，省略掉二次项，得到函数的线性近似式，并不断用变量的旧值递推新值来进行迭代，得到方程的近似解。在Matlab软件中可以直接编程计算[15]。

1.5 统计学分析 应用SPSS 17.0软件处理数据，定性资料用率(%)表示，采用χ2检验，P＜0.05为差异有统计学意义。

基于以上计算，将无穷积分区间截断为有限积分区间。在此基础上，利用核函数分段线性逼近法求解式(8)中的实部积分和虚部积分。对于实部和虚部积分区间，进行间隔采样，利用线性近似逼近两采样点之间的曲线，实部积分核函数分段线性逼近原理如图5所示，虚部积分核函数分段线性逼近与其相同。

图5 核函数实部分段线性逼近

Fig. 5 Piecewise linear approximation of real part of the kernel function

当

时，核函数的实部与虚部可以表示为

(11)

(12)

式中：NR和NI为采样点数量，其值越大，分段线性逼近精度越高。其中，

和

以及

和

分别为

对于Mg2+而言，Ida2-可与Mg2+形成配合物(如式(11)所示)，同时也可以与H+发生加质子反应，其反应式如下：

(13)

(14)

根据式(11)，利用核函数分段线性逼近和截断法计算架空线-地回路阻抗，可得式(15)，采用分部积分法直接计算式(15)中的积分，可得到式(16)。

(15)

(16)

其中

；

2 有限元仿真

本文选取有砟轨道结构，根据有砟轨道结构组成建立轨道电路电磁场仿真模型。由于实际情况下钢轨处于无限大开放区域，仿真计算时，为处理无限大开区域问题，可使开区域半径为钢轨等效半径(采用周长相等原则计算钢轨的等效半径)的若干倍，且通过柱坐标变化，采用无限元域将无限大区域变换为有限区域。仿真中使用60 kg/m的P60型钢轨，电导率为6×106 s/m，且钢轨是铁磁材料，其磁导率参考文献[16]中钢轨的B-H曲线。钢轨作为轨道电路信号电流和牵引回流的通道，信号电流大小为毫安级，频率范围为1 700～2 600 Hz，而牵引回流一般为几百安培，频率为工频50 Hz。因此，激励设为正弦工频电流，同时为研究轨道电路钢轨自阻抗在宽频范围内的变化，进行0～10 kHz的参数扫频。对于电磁场模型网格剖分时，由于钢轨在交流电流作用下出现集肤效应，需根据集肤因子大小对钢轨部分进行网格剖分。钢轨剖分如图6(a)所示。由于集肤效应，电流主要集中分布在钢轨表面，钢轨在频率为2 600 Hz时集肤效应如图6(b)所示。单根钢轨整体模型剖分如图7所示。钢轨自阻抗中的自电阻、自电感可通过欧姆损耗和磁场储能进行计算。

钢轨自阻抗由钢轨内阻抗与外阻抗组成，由于钢轨截面不规则，呈“工”字形，且钢轨为铁磁性材料，目前无法解析求解钢轨内阻抗，因此，本文亦采用有限元法计算内阻抗；而钢轨外阻抗仅与钢轨外部磁场、电路结构及大地有关，与钢轨内部磁场无关，因此，利用Carson公式计算外阻抗，并采用本文计算方法计算外阻抗表达式中的架空线-地回路阻抗。其中，针对钢轨的不规则形状，利用周长相等原则计算钢轨等效半径，将钢轨等效为圆柱形导体。

(a) 钢轨网格剖分；(b) 钢轨集肤效应

图6 钢轨网格剖分及集肤效应

Fig. 6 Rail mesh generation and Skin effect

图7 单根钢轨有限元计算模型网格剖分

Fig. 7 Mesh generation of finite element model for single rail

P60型钢轨等效半径为0.106 6 m，钢轨离地高度为0.03 m，大地电导率为0.01 s/m，频率在0～10 kHz范围内。根据以上参数，利用本文所提方法计算钢轨外阻抗。对于钢轨内阻抗，由于其材料的铁磁特性，采用有限元法可直接计算[17]。同时，文献[9]利用有限元法计算了钢轨的自、互阻抗，并以BS113A型钢轨为例计算了钢轨的自、互阻抗，验证了有限元法的正确性，表明有限元法可以准确计算钢轨阻抗。因此，为验证本文所提方法的正确性及计算精度，利用有限元法对单根钢轨整体模型仿真计算，并采用文献[18]中的Carson单项近似法解析计算。其中，内阻抗均采用有限元法计算，因此，仅需比较钢轨外阻抗的值，将本文计算方法的计算结果、Carson单项近似法的计算结果同有限元仿真结果对比，并定义相对误差描述计算方法的精度，相对误差计算式为

声光报警器是一种用在危险场所，通过声音和各种光来向人们发出示警信号的一种报警信号装置当检测到儿童被锁车内时，单片机通过内部定时器产生按一定规律变化的PWM信号，经过三极管构成的驱动电路来驱动蜂鸣器和指示灯产生报警信号[5]。

(17)

式中：x表示本文方法和Carson单项近似法计算的外阻抗值，x0表示有限元法计算的外阻抗值，且外阻抗值中包括自电阻和自电感。

根据计算结果及仿真结果，利用式(17)，计算出外阻抗中自电阻和自电感相对误差如图8和图9所示，图中δ1和δ2分别表示本文方法与有限元法及Carson单项近似法与有限元法的自电阻相对误差，δ3和δ4分别表示本文方法与有限元法及Carson单项近似法与有限元法的自电感相对误差。

图8 自电阻计算误差

Fig. 8 Self Resistance calculation error

对于自电阻的误差，由图8中可知，δ1小于δ2，即本文方法误差小，且随着频率的增大，δ1与δ2均有增大趋势，但δ1的增大趋势远小于δ2在10 kHz时，相对误差δ1在4%以内。

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对于自电感的误差，由图9中可知，随着频率的增大，δ3逐渐增大，当频率超过大约6 200 Hz时，δ3开始减小，且整个频率范围内，δ3的最大值在6%以内，而δ4随频率的增大一直呈现增大趋势，误差较大。

图9 自电感计算误差

Fig. 9 Self Inductance calculation error

3 钢轨自阻抗影响因素分析

3.1 电流频率影响

轨道电路既是轨道电路信号电流的通道，也是牵引回流的通道，由于信号电流与牵引回流频率分布较宽，为此，在0～10 kHz范围内研究频率变化对钢轨自阻抗的影响。根据本文计算方法，计算钢轨外阻抗，并利用有限元计算钢轨内阻抗。并将其表示为钢轨自电阻与自电感，计算结果如图10和图11所示，将图10中的线性横坐标转换为对数坐标，可以更明显的看出自电阻随电流频率的变化规律。

图10 自电阻与频率的关系

Fig. 10 Relationship between self resistance and frequency

图11 自电感与频率的关系

Fig. 11 Relationship between self inductance and frequency

由图10可知，钢轨自电阻随电流频率的增大而增大，当电流频率较低时，自电阻变化趋势缓慢，而当频率较高时，自电阻随频率变化的趋势比较明显，其主要是由于随着电流频率的增加，钢轨和大地的集肤效应更加明显，且大地为有损媒质，因此，钢轨自电阻随着电流频率的增加而增大。

由图11可知，钢轨自电感随着电流频率的增大而减小，当频率较低时，自电感变化趋势显著，而随着频率的增加，自电感变化趋势变缓，其主要是由于钢轨和大地存在集肤效应，随着电流频率的增加，电流集中分布在钢轨和大地表面一定深度内，从而导致钢轨和大地内部电感减小，致使自电感减小。

3.6 干细胞转化 有一种假说认为异位子宫内膜干细胞可能引起子宫内膜异位症[23]。成体卵巢中卵母细胞的起源长期以来一直存在争议，最近的一些研究表明胚胎干细胞可能在组织再生和/或生长过程中起重要作用。一些卵巢癌中上皮细胞的Hox基因在原始造血细胞中表达，提示其在早期造血分化中起着重要作用。一些研究甚至表明Hox基因在卵巢上皮中表达可能调节肿瘤干细胞，因此干细胞转化可能是卵巢癌发生的根本原因[24]。

3.2 钢轨高度及大地影响

轨道线路铺设环境复杂，不同的轨道结构(路基段、桥梁区段、隧道)及地理环境都将影响轨道电路的传输特性。对于钢轨自阻抗的计算，由于钢轨铺设在不平整的大地上，并且途径区域的土壤环境复杂，为此，需考虑钢轨高度及大地电导率对钢轨自阻抗的影响。钢轨中的电流主要为幅值几百安培的牵引回流，因此，设定电流频率为工频50 Hz，而对于大地电导率，由于其与大地湿度、温度、大地结构等因素有关，由于实验条件限制，未实际测量其变化。为此，根据文献[9]中大地电导率的数值范围，将其设置为0.001～1 S/m，利用本文计算方法计算钢轨高度及大地电导率对钢轨自阻抗的影响。

图12 电阻与大地电导率的关系

Fig. 12 Relationship between resistance and earth conductivity

图13 电感与大地电导率的关系

Fig. 13 Relationship between inductance and earth conductivity

从图12中可以看出，随着大地电导率的增加，钢轨自电阻呈现逐渐减小的趋势，尤其在电导率接近于1时，变化显著；在同一大地电导率下，轨道高度越高，自电阻越小，且大地电导率较小时，钢轨高度对自电阻影响较小，大地电导率较大时，钢轨高度对自电阻影响较大。

从图13中可以看出，钢轨自电感值随大地电导率的增加而减小，且变化趋势在大地电导率整个变化范围内均比较显著；在同一大地电导率下，轨道高度越高，自电感越大，且在大地电导率较小时，钢轨高度对自电感影响较小，大地电导率较大时，钢轨高度对自电感影响较大。

4 结论

1) 考虑大地影响，基于核函数分段线性逼近法和截断法计算钢轨自阻抗时，避免了直接采用Carson公式求解困难问题，将本文方法计算结果和Carson单项近似法计算结果同有限元仿真结果比较，本文计算结果误差小于6%，计算精度更高。

2) 利用本文方法计算分析钢轨自电阻与自电感随电流频率变化规律，表明自电阻随电流频率的增大而增大，而自电感随电流频率的增大而减小。

3) 给出了自电阻与自电感随大地电导率、轨道高度的变化曲线。表明自电阻随大地电导率的增大而减小，且轨道高度越高，自电阻越小；自电感随大地电导率的增大而减小，且轨道高度越高，自电感越大。

4) 本文方法可以更准确地计算钢轨自阻抗，从而为轨道电路传输性能分析及轨道电路设计中钢轨自阻抗的计算提供了一种新的思路。

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Research on calculation of rail self impedance of track circuit considering the influence of earth

ZHANG Youpeng, WANG Dong, ZHAO Bin, JIA Zhi

(School of Automation & Electrical Engineering, Lanzhou JiaotongUniversity, Lanzhou 730070, China)

Abstract: The self impedance of the rail is one of the important parameters for the calculation and analysis of the track circuit, and its value directly affects the transmission performance of the track circuit. Considering the influence of the earth, it is difficult to determine the upper limit of the integral and the high frequency oscillation of the integrand function when the Carson formula is used to calculate the rail self impedance. A piecewise linear approximation method of Kernel function was proposed to solve the integrand function, and the truncation method was used to convert the infinite upper limit integral to the finite integral. The track circuit model was established and the finite element method was used for simulation calculation to verify the correctness of the calculation method. The calculation results of the method and Carson’s single approximation method were compared with the simulation results to verify the calculation accuracy of the method. The method was used to analyze the influence of current frequency, track height and ground conductivity on the rail self impedance. The research results show that the error between the calculation results of this method and the simulation results is less than 6%, the calculation accuracy is higher, and the influence of each parameter on the self impedance of the rail is correctly reflected. The results can provide reliable theoretical support for the accurate calculation of rail self impedance and the analysis of transmission characteristics of track circuit.

Key words: rail self impedance; Carson formula; Kernel function; piecewise linear approximation; truncation method; finite element method

中图分类号：U284.21

文献标志码：A

文章编号：1672 - 7029(2020)11 -2929 - 09

DOI: 10.19713/j.cnki.43-1423/u.T20200075

收稿日期：2020-01-23

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51967010)

通信作者：张友鹏(1965-)，男，甘肃庆阳人，教授，从事电气化铁路牵引供电技术研究；E-mail：[e-mail]

(编辑 阳丽霞)