中考数学压轴题分析：切割线定理的证明

本文内容选自2021年大庆中考数学压轴题。主要考查圆中线段求值问题。同时第二问还涉及切割线定理的证明，本质上考查的是相似三角形的判定与性质。难度不大。

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【中考真题】

（2021·大庆）如图，已知是的直径．是的弦，弦垂直于点，交于点．过点作的切线交的延长线于点
（1）求证：；
（2）判断是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若为中点，，，求的长．

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【分析】

（1）有交点，连圆心是切线的常见辅助线作法。只需证明∠OCD为直角即可。

（2）见线段乘积关系，优先考虑相似。由（1）得PG=PC，所以线段PG、PD和PE的关系可以转化为PC、PD和PE的关系。进而可以得到两个三角形分别是△PCD与△PEC。利用圆周角定理等即可证明结论。

（3）当G为中点时，连接OG，可以得到OG与BC垂直。利用sin B的值可以进行解直角三角形，得到OB与BG的长度，再利用ED与AB垂直，可以得到FG、OF和BF的长，进而易得DE的长。
【答案】解：（1）连接，
，
，
是的切线，
，
弦垂直于点，是的直径，
，
，
，
，
；

（2）如图1，连接、，
，是圆的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；

（3）如图2，连接，，
为中点，
，
在中，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
．