三角形（二十）

化归两个字，从小学讲到初中，从代数讲到几何。

你要说数学中最重要的思想方法是什么？那一定是化归——把不会的转化成会的。但是很多家长和孩子都有一个问题：那我怎么才能把不会转化成会的呢？

这就是为什么我们要结合定义和具体的例子来进行讲解的原因。有些道理谁都懂，比如拳击比赛如何才能获胜？尽可能多地打对方，自己少挨打，真自己上场和职业拳击手较量的时候，你试试！

这就是平时训练的作用——比如怎么闪躲，怎么出拳，你都要经过艰苦的训练。同样的，说是化归，但是代数怎么化归，几何怎么化归，全等怎么化归，相似怎么化归，还是有很多具体的内容可以讲一下的。

事实上，作业的用处有两个：一是帮助你进行练习化归和进行知识的转移，把书上的东西变成自己的；二是加强你的熟练度。所以刷题一定是必要的，但是每个人应该根据自己的特点来刷，如果化归已经完成，熟练度也上来了就没必要刷了，纯粹浪费时间。

我们来看一些具体的例子，帮助大家进行平移内容的化归。

例：在六边形ABCDEF中，AB∥ED，BC∥FE，CD∥AF，且BC-EF=DE-BA=FA-CD。求证：六边形各内角相等。

怎么化归？

最容易想到的当然是若六边形是个正六边形，显然是对的，但是满足上述条件的六边形不一定是正六边形啊！

当然，我们现在在讲平移，思路就来的比较自然，但是如果这个题目不放在这个章节讲，你能马上想到平移么？这个问题背后的问题就是：我们能不能观察出需要平移的题目的特点从而缩短思考的时间呢？

一般来说，如果题目给出的条件有些奇怪的地方，往往就是破题之处。像上一个例子中的结论是不等式，这个就直接给我们思路要把三条线段转化成三角形，那么这个题目中哪里不一样呢？

没错，BC-EF=DE-BA=FA-CD这句看起来很不一样。都是对边相减并且相等，但是这个减法的差你却不能直接看到。所以首先就要考虑把这个差给作出来，怎么做？是不是就是平移了？

换句话说，平移，就是把题干或者结论中不在一起的线段搞到同一个三角形中去最好的手段。现在是不是觉得脱离了这个章节，你也能对需要平移的题目有个大致判断了呢？

接下来的问题就是：怎么平移。

我们以BC为例，因为等式是对称的，所以要平移肯定是大家一起动，至于先动谁后动谁这个无关紧要，挑个代表就行。下一个问题是过哪个点作BC的平行线呢？事实上只有A和D两个选择，我们不妨过A作平行线段AG平行且等于于BC，然后再考虑把EF也挪过来，在AG上截一段AH=EF，那么GH就是BC-EF了。

如法炮制其余的两个差，我们很开心地发现：三段线段看起来能组成一个正三角形！这绝对是走在一条正确的路上了，现在需要解决的问题是：这三条线段确实能首尾相连。

你想想是不是这个问题？过C的平行线怎么恰好就过G点呢？因为G点你是通过AG平行且等于BC得到的，这时候你要平移ED，怎么能保证过C平行于ED的线段恰好通过G点呢？

所以我们应该换一种表述的方式：分别过A，C，E三点作BC，ED，FA的平行线，三条线分别交于G，H，K，易证△GHK是正三角形，而且正三角形周围是三个平行四边形。于是∠HGK=∠HAF=60°，∠HAB=∠KHG=60°，所以∠FAB=120°。同理，∠FED=∠DCB=120°。而∠B=∠AHC=180°-60°=120°。同理，∠D=∠F=120°，命题证毕。