中考数学压轴题分析：正方形与四点共圆

本文内容选自2021年绥化中考数学几何压轴题。以正方形为背景，求线段的比值等问题，难度中等。考查了相似与三角函数等知识，值得研究。

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【中考真题】

（2021·绥化）如图所示，四边形为正方形，在中，，，的延长线与的延长线交于点，点、、在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当，时，求的值．

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【分析】

（1）根据SAS易得结论。

（2）根据（1）中的结论。可以得到HB与DE相等，那么HB与HD的比值就可以转化为DE与HD的比值，进而可以得到与HE的比值，适当设未知数。设HB为x，可以表示出DE、BD、EH的长，进而得到CD的长。再根据条件可以证明△CEF∽△CDE，那么代入就可以得到FD与FC的比值。

（3）有了（2）的基础，也可以利用类似的思路，得到三角形相似△CEF∽△CDE。

求三角函数则考虑构造直角三角形，过点E作CF的垂线，构造直角三角形。设HB为3y，HG为4y，那么代入就可以得到FC、DC等长，进而得到∠CFE的正弦值。

【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
过作于，过作于，如图1所示：
则，
的面积，
，
解得：，
，，
，
，
，
；

（3）解：过点作交于，过点作于，如图2所示：
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
由（1）得：，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，．