课例:积的变化规律

【教学内容】

人教版义务教育教科书《数学四年级上册》第51页例3。

【教学目标】

(1) 探索积的变化规律,能运用规律使一些计算简便。

(2)经历探索积的变化规律的过程, 积累探索规律和表征规律的经验,培养思维的全面性、严谨性以及概括和表达能力。

(3) 通过探索积的变化规律,感受数与形的密切联系,体会发现数学规律的乐趣,培养学习数学的兴趣。

【重点】

经历探索规律的一般过程,理解并掌握积的变化规律。

【难点】

全面严谨地观察思考、用简洁的语言符号表征规律。

【教学过程】

  • 借助图形举例,初步感知规律。

师:数学是研究数与形的科学,那我们来看一个长方形。

出示长方形,计算面积。

预设:6×2=12 ( 板书:6×2=12)

出示长方形宽不变,长变大的过程。

师:现在长方形的面积是多少?

预设:6×20=120 ( 板书:6×20=120)

课件出示长方形宽不变,长继续变大。

师:现在宽为6不变,长变成200,面积变成了多少呢?

预设:6×200=1200  ( 板书:6×200=1200)

师:通过计算长方形的面积,现在我们得到了3个乘法算式①式,②式,③式,(师指第一个因数的位置)在乘法中,这部分叫做——

生:因数。

(师分别指第二个因数和积的位置)

生:因数、积。(师贴出:因数×因数 = 积)

师:结合长方形的变化,我们发现长方形的面积越来越(停顿)大。也就是乘法算式中的积越来越大。

师:观察这3道算式,积为什么会越来越大?

生汇报。

师:你能上台指着算式用因数、因数、积来说一说吗?

生:一个因数不变,另一个因数越来越大,积也越来越大。

二、探究新知。

(一)探究因数变大,积也变大的规律。

1.自主合作探究。

师:积会随着因数的变化而变化。那积的变化和因数的变化之间到底有什么样的关系呢?今天我们就一起来研究积的变化规律。(板书课题:积的变化规律)

想要研究这个问题,我们就要找到因数的变化和积的变化,再来探究它们之间的联系。带着这个思路,请拿出自主学习单。完成任务一。学习建议,请人来读一读。

学习建议:

1.先独立思考,每两道算式之间进行观察、比较,找出因数和积的变化。

2.可以用箭头等符号在算式上写一写、画一画,争取让别人一眼就能看出你的发现。

3.完成后,请把你的发现,用简洁的语言在小组内说一说。(4人为一组)

师巡视,给探究有困难的学生提供锦囊。

锦囊:

  1. 1.第2算式同第1算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了(     ), 积(       )。

  2. 2.第3算式同第1算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了(     ),积(       )。

生自主完成探究。

自主学习单:

任务一:

观察下面这组算式,说一说你发现了什么?

(1) 6  ×  2   =  12

(2) 6  ×  20  =  120

(3) 6  ×  200 =  1200

学习建议:

1.先独立思考,每两题之间进行观察、比较,找出因数和积的变化。

2.可以用箭头等符号在算式上写一写、画一画,争取让别人一眼就能看出你的发现。

3.请把你的发现,用简洁的语言在小组内说一说。(4人为一组)。

任务二:

【验证】

2.汇报:

预设1:

第2道算式同第1道算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了10,积乘了10。

第3道算式同第2道算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了10,积乘了10。

师:一个因数不变,另一个因数乘10,积乘10,另一个因数乘100,积乘100,积和因数乘的数是一样的,并且积是随着因数的变化而变化。所以我们说一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘几,要加一个也字。

预设2:

第2道算式同第1道算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了10,积也乘10。

第3道算式同第2道算式比,第一个因数不变,第二个因数乘了10,积也乘10。

第3道算式同第1道算式比,第二个因数乘了100,积也乘100。

问生1,师:你觉得生2的作品怎么样?

生:他还拿第3道算式同第1道算式比了,更全面。

师圈出也字。

师:为什么加个也字?

预设①:积随着因数的变化而变化。

预设②:积的变化和因数的变化是一样的。

补充板书:

师:你们找到了因数之间、积之间的倍数关系,可以用×10、×100来表示变化了多少,这样既简洁又明了。

3.举例验证

师:一个因数不变,另一个因数除了乘10、乘100还可以怎样变?那积又会怎样变?你们可以自己举例子验证吗?写在自主学习单上任务二下面空白处,计时1分钟。

师:谁来说一说你写的算式。

汇报。

预设:我写的算式是

6×2=12

6×8=48。

师:你是怎么想到这算式的?

预设1:6不变,2×4=8,6×8=48

师:你是计算出了乘积,你写的算式能说明积的变化规律?

预设2:另一个因数2乘了4,积12也要乘4就是48。

师:你是用规律推理出了算式的乘积,我们横着检查这个乘法算式,乘积对不对?

师:具有这种规律的所有乘法算式能写完吗?

预设:写不完。

师:那下面这项任务可太具有挑战性了!谁能把永远也写不完的算式中藏着的规律,用一句话总结出来。

预设:一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘几。

(板书:一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘几。)

师:你能举例说明你发现的规律吗?

小结:

师:回顾我们探索积变大的规律的方法,我们可以从上往下有序地将一个算式和另一个算式进行比较,观察哪里没有变,哪里变了,计算变化有多大,找出变化之间的联系,从而发现规律。

(二)探究因数变小,积也变小的规律。

1.自主合作探究

师:老师这里还有一组乘法算式,你能带着刚才的经验继续研究比较吗?请独立完成研究问题,总结,验证这三步,完成后请同桌间交流一下你发现的规律。总计时:4分钟。现在开始你们的探究。

自主学习单:

观察下面这组算式,说一说你发现了什么?

(1) 20× 4 = 80

(2) 10×4  = 40

(3)  5×4 =   20

【研究问题】

独立思考,你有什么发现?

【总结】

我发现:

【验证】:

  1. 3. 汇报:

师:你有什么发现?谁来指着算式说一说。

预设1:

第二个因数不变,第一个因数除以2,除以4,积也除以2,除以4。

预设2:

第二个因数不变,第一个因数除以几,积也除以几。

师:除以几都可以吗?6÷0等于几呢?

生:没有。

师:除数不能为0,这里我们要注意0除外。我们把规律进行完善:

一个因数不变,另一个因数除以几(0除外),积也除以相同的数。看来,乘法算式的积不仅可以随因数变大而变大,还可以随因数变小而变小。

师:第一组题中有没有因数变小,积也变小的规律呢?

师:我们在探寻一组算式的变化规律时,除了从上往下观察,还能----(从下往上观察),谁来指着算式说一说,你有什么发现?

师:第二组题中有没有因数变大,积变大的规律呢?谁来指着算式说一说,你有什么发现?

师小结:看来观察的角度越全面,得到的结论才更完整。

4.归纳总结规律。

我们能不能把这两条规律合并起来描述?谁来?

预设:一个因数不变,另一个因数乘几或除以几(0除外),积也乘(或除以)几。

小结:我们今天发现的规律是一个,它就是积的变化规律。

三、回顾运用,温故知新。

(一)借助形,回顾运用规律

1.数形结合,以形补数。

过渡:回到这组长方形。

课件出示:

师:长方形的长、宽、面积怎样变化?

预设:长不变,宽×10,面积也乘10。

师:反过来看呢?

预设:长不变,宽÷10,面积也÷10。

小结:如果乘法算式表示的是长方形的长乘宽,那么积的变化规律以长方形为例,就是面积的变化规律:长方形的长不变,宽乘几,面积也乘几。反过来看,长方形的长不变,宽除以几,面积也除以几。

小结:数学家华罗庚说得好:数缺形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,割裂分家万事非。我们再运用积的变化规律来解决一道与长方形面积有关的问题,好吗?

2.在形中,再次理解运用规律

完成课本51页,做一做,第2题。

重点理解题目中宽增加到24米。

生独立思考,汇报,点评。

(二)整十、整百数乘一位数口算的回顾

过渡:其实,在我们的数学学习中,很早就运用了积的变化规律,这是三年级我们学口算乘法时,课本的习题,类似这样的口算,我们做过很多吧?除了口算,你还能运用今天学的积的变化规律,计算第一组题吗?

可加课本54页第一题的第3组题。(依具体时间来定)

(三)笔算乘法的回顾

回顾四年级上册第四单元,三位数乘两位数的例2。

师:你能够用“积的变化规律”来解释这样书写的道理吗?

四、课堂小结

师:积有变化规律,那积有没有不变的规律呢?

五、拓展练习

反思:

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,有助于学生形成良好的认知结构,有助于真正提高学生的数学素养并使他们终身受益。教学中笔者力求通过猜想规律——计算给定的题组——在比较观察中初步发现规律——自主举例进一步验证规律——交流中确认规律等一系列过程,让学生自然地体会到数学学习中常用的不完全归纳的一般过程,渗透了数学的思想与方法。

更重要的是,通过及时的回顾,使学生有效积累数学活动经验, 通过回顾发现规律的过程:观察实例、大胆猜想、小心验证、发现规律,为后续研究打下扎实的基础。学生在这一过程中获得的不仅仅是简单意义上的“结论”,更是“结论”怎么来的过程,是数学方法的内化,所有这些都强调了数学教学的本真意义。学生经历这样的过程, 不仅有助于积累探索规律的经验与方法,更有助于进一步去发现其他的数学规律,并逐步形成发现规律的敏锐眼光。

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