“冰融化”的数学，冰能融化成雪花吗？理解边界运动的复杂方程

把一个冰块扔进一杯水里。你可能能想象出它融化的样子。你也知道，无论它变成什么形状，你都不会看到它融化成像雪花一样的东西，到处都是尖锐的边缘和细小的尖角。

数学家用方程来模拟这一融化过程，但花了130年时间才证明它们符合关于现实的事实。今年3月份的一篇论文中，研究人员已经确定，这些方程确实与直觉相符。模型中的雪花可能并非不可能，但它们极其罕见，而且完全是转瞬即逝。这些结果为该领域打开了一个新的视角。以前没有对这一现象有如此深入和精确的了解。

冰如何在水中融化的问题被称为斯特凡问题（Stefan problem），以物理学家约瑟夫·斯特凡的名字命名。它是 '自由边界 '问题的最重要例子，在这个问题上，数学家考虑像热扩散这样的过程如何使边界移动。在这种情况下，边界是在冰和水之间。

多年来，数学家们一直试图理解这些不断演变的边界的复杂模型，他们从一种不同类型的物理系统中获得了灵感：皂膜。在这些研究的基础上证明，沿着冰和水之间不断演变的边界，尖角边缘很少形成，即使形成，也会立即消失。

这些尖锐的地方程被称为奇点，事实证明，它们在数学的自由边界中和在物理世界中一样是短暂的。

融化的沙漏

再考虑一下，水杯中的冰块和水，这两种物质是由相同的水分子组成的，但水处于两个不同的相（状态）：固体和液体。这两个相的交界处存在一个边界。但是当水的热量转移到冰中时，冰就会融化，边界就会移动。最终，冰和边界一起消失。

直觉可能会告诉我们，这个融化的边界始终保持平滑。毕竟，从水杯中拿出一块冰时，你不会被锋利的边缘割伤。

拿一块沙漏形状的冰块，将其浸没在水杯中。随着冰的融化，沙漏的腰部变得越来越细，直到消失。在这种情况发生的时候，曾经光滑的腰部变成了两个尖尖的尖角，或称奇点。

• 约瑟夫-斯特凡建立了一对模拟冰融化的方程式。

然而现实也告诉我们，奇点是可以控制的。我们知道，奇点不应该持续很长时间，因为温水会迅速将其融化。也许，如果从一个完全由沙漏组成的巨大冰块开始，可能会形成一片雪花，但仍只存在于瞬间。

1889年，斯特凡对这个问题进行了数学上的研究，列出了两个描述冰融化的方程式。一个方程描述了热量从温水扩散到冰中，这使冰收缩，同时导致水增加。第二个方程跟踪了冰和水之间的界面变化，因为融化过程正在进行。(事实上，这些方程也可以描述冰是如此之冷以至于导致周围的水结冰的情况，但在目前的工作中，研究人员忽略了这种可能性）。

花了近100年的时间，直到20世纪70年代，数学家证明这些方程有一个坚实的基础。给出一些起始条件——水的初始温度和冰的初始形状，就有可能无限期地运行这个模型，以准确描述温度如何随时间变化。

他们发现，没有任何理由可以排除模型得出奇怪的东西。例如，方程可能描述了一个保持完全静止的尖锐雪花。斯特凡问题变成了一个表明这些情况下的奇点实际上得到很好控制的问题。否则，这将意味着冰雪融化模型是一个失败，愚弄了几代数学家。

肥皂的灵感

在数学家开始理解冰融化方程式之前的十年里，他们在肥皂膜的数学方面取得了巨大的进展。

如果你把两个钢丝圈浸在肥皂溶液中，然后把它们分开，它们之间就会形成一层肥皂膜。表面张力会将这层薄膜尽可能地拉紧，使其形成一种被称为 '猫眼 '的形状——一种凹陷的圆柱体。这种形状的形成是因为它以最小的表面积连接了两个环，使它成为数学家所说的最小表面的一个例子。

到20世纪60年代，数学家们在理解肥皂膜方面取得了进展，但他们不知道方程的解会有多奇怪。描述的肥皂膜有无数的奇点，与我们期望的光滑薄膜完全不同。

• 一个关于肥皂膜的发现帮助数学家理解融化的冰和水之间的边界是如何演变的。

1961年和1962年，恩尼奥-德-乔治（Ennio De Giorgi）、温德尔-弗莱明（Wendell Fleming）等人发明了一个方法，用于确定奇点的情况是否像人们担心的那样糟糕。

假设有一个肥皂膜方程的解，描述了两个边界表面之间的薄膜形状。将注意力集中在薄膜表面的一个任意点上。这个点附近的几何形状是什么样子的？在我们对它有所了解之前，它可能具有任何一种可以想象的特征。数学家们设计了一种放大该点的方法，就像他们拥有一台功率无限的显微镜。他们证明，当放大时，看到的只是一个平面。

这种平面性意味着该点附近的几何形状不可能是单一的。如果该点位于一个尖顶上，数学家会看到更像一个楔子的东西，而不是一个平面。由于他们随机选择了这个点，因此可以得出结论，当近距离观察时，所有点必须看起来像一个光滑的平面。这确定了整个薄膜必须是光滑的，没有奇点的困扰。

数学家们想用同样的方法来处理斯特凡问题，但他们很快意识到，对于冰来说，事情并不那么简单。与肥皂膜不同的是，融化的冰看起来总是很光滑，但它确实表现出了奇异性。而且，冰和水之间的界限总是在运动。

从肥皂到冰

1977年，路易斯·卡法雷利（Luis Caffarelli）为斯特凡问题重新发明了一个数学放大镜。他没有放大肥皂膜，而是想出了如何放大冰和水之间的边界。

当数学家们放大肥皂膜方程的解时，他们只看到了平坦性。但是当卡法雷利放大冰和水之间的冰冻边界时，他有时会看到完全不同的东西：几乎完全被温水包围的冰冻点。这些点与冰尖(奇点)相对应，这些冰尖由于融化边界的后退而被滞留。

这对模型来说将是一场灾难。完全的混沌。

卡法雷利证明了冰融化的数学中存在奇异点。他还设计了一种方法来估计有多少个奇点。在奇点的确切位置，温度总是零摄氏度，因为奇点是由冰组成的。这是一个简单的事实。但值得注意的是，卡法雷利发现，当远离奇点时，温度会以一种明显的规律增加。

如果你把温度作为距离的函数作图，会得到抛物线的形状，这被称为抛物线关系。但是，由于空间是三维的，可以在三个不同的方向上绘制温度图，而不是只有一个方向。因此，温度看起来像一个三维抛物线。

总而言之，卡法雷利的观察提供了一种清晰的方法来确定冰水边界的奇点的大小。奇点被定义为温度为零摄氏度的点，抛物线描述了奇点及其周围的温度。因此，在抛物线等于零的任何地方，都有一个奇点。

那么，有多少地方可以让抛物线等于零？想象一下，一个抛物面由一连串的抛物线并排叠加而成。像这样的抛物线可以沿着整条线取一个最小值。这意味着卡法雷利观察到的每个奇点实际上都可能是一条线的大小，一条无限细的冰边，而不仅仅是一个冰点。而且，由于许多线可以放在一起形成一个表面，他的研究留下了一个可能性，即一组奇点可以充满整个边界表面。如果这是真的，这将意味着斯特凡问题中的奇点完全失去了控制。

然而，卡法雷利的结果只是一个最坏的情况。它确定了潜在奇点的最大尺寸，但它没有说明奇点在方程中实际发生的频率，或它们持续的时间。到2019年，费加里（Figalli）、罗斯-奥顿（Ros-Oton）和塞拉（Serra）想出了一个非凡的方法来找出更多的东西。

不完美的模式

为了解决斯特凡问题，需要证明方程中出现的奇点是可控的。要做到这一点，他们需要全面了解可能形成的所有不同类型的奇点。

卡法雷利在理解冰融化时奇点如何发展方面取得了进展，但这个过程中有一个特点他不知道如何解决。他认识到，奇点周围的水温遵循一个抛物线模式。他还认识到，它并不完全遵循这一模式，有一个小的偏差。

他们三人用显微镜来研究这个偏差。当他们放大这个小瑕疵时，发现它门有自己的各种模式，这些模式产生了不同类型的奇异现象。

他们能够证明所有这些新类型的奇点都迅速消失了——就像它们在自然界中一样，除了两个特别神秘的奇点。他们的最后一个挑战是证明这两种类型也是一出现就消失，排除了任何像雪花一样的东西可能持续存在的可能性。

消失的尖顶

第一种类型的奇点曾经出现过，在2000年。一位名叫弗雷德里克-阿尔姆格伦的数学家在一篇长达1000页的关于肥皂膜的论文中对其进行了研究，该论文在他去世后才由他的妻子让-泰勒发表。

虽然数学家们已经表明，肥皂膜在三维空间中总是光滑的，但阿尔姆格伦证明，在四维空间中，一种新的 '分支 '奇点可以出现，使肥皂膜以奇怪的方式变得尖锐。这些奇点是抽象的，无法可视化。然而，费加里、罗斯-奥顿和塞拉意识到，非常类似的奇点是沿着冰和水之间的融化边界形成的。

这些分支奇点之一周围的冰必须有一个圆锥形的图案，当不断放大时看起来是一样的。而且，与抛物线模式不同，抛物线模式意味着奇点可能沿整条线存在，而圆锥模式只能在一个点上有一个尖锐的奇点。利用这一事实，他们表明，这些奇点在空间和时间上是孤立的。一旦它们形成，它们就会消失。

第二种奇点甚至更加神秘。为了了解它，想象一下将一块薄冰浸入水中。它将不断缩小，并突然一下子消失。但就在那一刻之前，它将形成一个片状奇点，一个像剃刀一样锋利的二维墙。

在某些点上，研究人员大发现了一个类似的情况：两个冰的锋面向该点坍塌，就像它位于薄冰片内一样。这些点并不完全是奇点，而是一个奇点即将形成的位置。问题是这些点附近的两个锋面是否同时坍塌。如果发生这种情况，一个片状奇点只会形成一个完美的瞬间，然后就消失了。最后，他们证明了这实际上就是这个场景在方程中所表现出来的。

在证明了奇异的分支和片状奇点都是罕见的之后，研究人员可以做出这样的一般性声明：斯特凡问题的所有奇点都是罕见的。

数学家们说，这项工作的技术细节将需要时间来消化。但他们相信，这些结果将为许多其他问题的进展奠定基础。斯特凡问题是整个数学子领域中边界移动的一个基础性例子。但至于斯特凡问题本身，以及冰块如何在水中融化的数学问题呢

文章来源：Quantamagazine