《下学葊算书》之勾股形三率论(11)
《下学葊算书》之勾股形三率论(11)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：清代数学流行“连比率三率”，此三率为首率、中率及末率。“连比率三率” 即首率乘以末率等于中率之平方。其等式及延伸之等式可用于勾股形中。
关键词：连比率三率 首率 中率 末率
第 1 节 “连比率三率”及相关等式
本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之“重论第四五六术”。
清代数学流行“连比率三率”，此三率为首率、中率及末率。
现代数学称之为“连比例”，即a：b：c，可写成 a：b = b：c。b是为 a 与c 之“比例中项”。比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，《下学葊算书》称之为“中率”。
若首率 = a、中率 = b及末率 = c，则“连比率三率”指以下等式：
=
---------------------------------------------------------------- (1)
即 ac = b2，即首率乘以末率等于中率之平方。
项名达《下学葊算书》指出，若 a< b < c﹝避免负数﹞，又若上式 (1) 成立，则以下等式亦成立：
=
--------------------------------------------------- (2)
即 (2) 仍以 a为首率、以 b – a 为中率及以 c + a – 2b 为末率。
以上即《下学葊算书》所云：
凡有连比率三率，仍其首率，而以首率中率相减为中率，则其末率，必为原首率末率相加，转减倍中率之数。
证明：设
=
= k，则 a = bk，b = ck 或 a = ck2，
左方：
=
=
；
右方：
=
=
=
。
以上两式右方相等，即可知
=
成立。
项名达以以下之数字说明(2)之等式：
=
，即a = 3、b= 9及 c = 27，
则 b – a = 9 – 3 = 6，c + a – 2b = 27 + 3 – 2 × 9 = 30 – 18 = 12，
=
=
；
=
=
；故两式相等，即 (2) 成立。
此外《下学葊算书》尚有另一类似之等式云：
仍其首率，而以首率中率相加为中率，则其末率必为原首率末率相加，更加倍中率之数。
其说即如下之等式：
=
--------------------------------------------------- (3)
即 (3) 仍以 a为首率、以 b + a 为中率及以 c + a + 2b 为末率。可以以相同方法证明：
左方：
=
=
；
右方：
=
=
=
。
以上两式右方相等，即可知(3) 成立。
项名达以以下之数字说明(3)之等式：
=
，即a = 4、b= 6及 c = 9，
则 b + a = 6 + 4 = 10，c + a + 2b = 9 + 4 + 2 × 6 = 13 + 12 = 25，
=
=
；
=
=
；故两式相等，即 (3) 成立。
以上之 (2) 及 (3) 属 (1) 之延伸等式。
第 2 节 “连比率三率”及勾股等式
本节谈及《下学葊算书》中之勾股形所衍生之“连比率三率”，即上节之等式及延伸之等式可用于勾股形中。注意以下之勾股形：
1. 若首率 = 勾弦较 = z – x ，中率 = 股 = y及末率 = 勾弦和 = z + x，则“连比率三率”指以下等式：
=
-------------------------- (4)
证明：因为 z2 = x2 + y2，所以z2 – x2 = y2 ，
分解因式得 (z – x)(z + x) = y2，移项得 (4) 即
=
。证毕。
2. 若首率 = 股弦较 = z – y ，中率 = 勾 = x及末率 = 股弦和 = z + y，则“连比率三率”指以下等式：
=
------------------------- (5)
证明：因为 z2 – y2 = x2，
即 (z – y)(z + y) = x2，移项得 (5)
=
。证毕。
3. 若首率 = 勾弦较 = z – x ，
中率 = 勾弦较股相减 = y – (z – x) = y – z +x，即弦和较，弦和较之定义如下： 弦指 z，和指勾股和，即x + y ，较指勾股和与弦之差，即 (x + y) – z = x + y – z。
及末率 = (z – x) + (z+ x) – 2y = 2z – 2y = 2(z – y) 。
即可得以下之“连比率三率”等式：
=
---------------------------------- (6)
证明：
若
=
成立，从上节可知
=
亦成立。
若
=
与
=
比较，可知：
首率 a = z – x，中率 b = y及末率 c = z + x，则新中率 = b – a = y – (z – x) = y – z + x，是为弦和较；及新末率=c + a – 2b = (z – x) + (z + x) – 2y = 2z – 2y= 2(z – y)，代入 (2)，即可知 (6) 成立。
4. 又若首率 = 股弦较 = z – y ，
中率 =勾弦较股相减 = x – (z – y) = y – z + x，即弦和较，弦和较之定义见上。
末率 = (z – y) + (z+ y) – 2x = 2z – 2x = 2(z – x) 。
即可得以下之“连比率三率”等式：
=
---------------------------- (7)
证明：
若
=
成立，从上节可知
=
亦成立。
若将
=
与
=
比较，可知：
若 a = z – y，b = x及 c = z + y，
则中率 = b – a = x – (z– y) = y – z + x，
末率 = c + a – 2b = (z + y) + (z – y) – 2x = 2z – 2x = 2(z – x) 。
即可知 (7)
=
成立。
据以上之结果，项名达得一重要之结果，《下学葊算书》曰：
此两种另式连比例，中率皆为弦和较，首末率虽不同，然以首末相乘，要皆为勾弦较、股弦较相乘倍之之数，而与中率弦和较自乘等积也。
其意指从以上两等式：
=
------------------ (6)
=
------------------ (7)
从 (6) 与 (7) 交义相乘皆可得 (y + x – z)2 = 2(z – y)(z – x)，
即 (6) 与 (7) 本等价。以移项法，从(6) 可得 (7)，从 (7) 亦可得 (6)。
5. 又若首率 = 勾弦和 = z + x 、中率 = 股 = y及末率 = 勾弦较 = z – x，则“连比率三率”指以下等式：
=
。证明：因为 z2 = x2 + y2，即 z2 – x2 = y2，
分解因式得 (z – x)(z+ x) = y2，移项即可得：
=
。
其实本题可不必证明，因为上节已证明 (4)
=
，将左方分子及右方分母移项即得上式。
6. 又若首率 = 股弦和 = z + y ，中率 = 勾 = x及末率 = 股弦较 = z – y，则“连比率三率”指以下等式：
=
。
证明：上节已证明 (5)
=
，将左方分子及右方分母移项即得上式。
7. 又若首率 = 勾弦和 = z + x ，
中率 =勾弦和股相加 = y + (z + x) = y + z + x，即弦和和，弦和和之定义如下： 弦指弦之长 z，第一和字指勾股和，即x + y ，第二和字指勾股和与弦之和，即 x + y + z。
及末率 = (z – x) + (z+ x) + 2y = 2z + 2y = 2(z + y) 。
即可得以下之“连比率三率”等式：
=
-------------------------------- (8)
证明：
若
=
成立，则
=
亦成立。
若a = z + x，b = y及 c = z – x，以此三数另创新三率如下：
首率：z + x，
中率 = b + a = y + (z+ x) = x + y + z，
末率 = c + a + 2b = (z + x) + (z – x) + 2y = 2z + 2y = 2(z + y) 。
即可知 (8)
=
。 成立。
又若首率= 股弦和 = z + y ，
中率 =股弦和勾相加 = x + (z + y) = y + z + x，即弦和和。
及末率 = (z + y) + (z– y) + 2x = 2z + 2y = 2(z + x) 。
即可得以下之“连比率三率”等式：
=
--------------------------------- (9)
证明：
若
=
成立，则
=
亦成立。
若 a = z + y，b = x及 c = z – y，以此三数另创新三率如下：
首率 = z + y，
中率 = b + a = x + (z+ y) = x + y + z，
末率 = c + a + 2b = (z – y) + (z + y) + 2x = 2z + 2x = 2(z + x) 。
即可知 (9)
=
成立。
《下学葊算书》曰：
此两种另式连比例，中率皆为弦和和，首末率虽不同，然以首末相乘，要皆为勾弦和、股弦和相乘倍之之数，而与中率弦和和自乘等积也。
其意指从以上可得两等式：
=
------------------ (8)
=
------------------ (9)
从 (8) 与 (9) 皆可得 (y + x + z)2 = 2(z + y)(z + x)，
即 (8) 与 (9) 本等价。以移项法，从(8) 可得 (9)，又从 (9) 可得 (8)。
第 3 节 勾股等式之另外“连比率三率”
《下学葊算书》尚提及以下之“连比率三率”：
﹝一﹞若首率 z + x 是为勾弦和，中率 y 为股及末率 z – x 为勾弦较，以此三数另创新三率如下：
首率 = z + x，
中率 = b – a = (z + x) – y = x – y + z，是为弦较较。
末率 = c + a + 2b = (z + x) + (z – x) – 2y = 2z – 2y = 2(z – y) 是为倍股弦较。
即可知
=
。
证明：
(z + x – y)2 = z2 + x2 +y2 – 2yz + 2xz – 2xy = 2z2– 2yz + 2xz – 2xy
2(z – y)(z + x) = 2z2 – 2yz + 2xz – 2xy。
即 (z + x – y)2 = 2(z – y)(z + x)。
移项即得以上之比率式，故以上之比率式成立。
﹝二﹞若首率z – y 是为股弦较，中率 x 是为勾及末率z + y 是为股弦和，以此三数另创新三率如下：
首率 = z – y ，
中率 = (z – y) +x = z – y + x，是为弦较较。
末率 = (z – y) + (z + y) + 2x = 2z + 2x= 2(z + x)是为倍勾弦和。
即可知
=
。证明：
(z + x – y)2 = z2 + x2 +y2 – 2yz + 2xz – 2xy = 2z2– 2yz + 2xz – 2xy。
2(z – y)(z + x) = 2z2 – 2yz + 2xz – 2xy。
即 (z + x – y)2 = 2(z – y)(z + x)
移项即得以上之比率式，故以上之比率式成立。
﹝三﹞若首率 z – x 是为勾弦较，中率 y 为股及末率z + x 勾弦和，以此三数另创新三率如下：
首率 = z – x，
中率 = b + a = (z – x) + y = y – x + z，是为弦较和。
末率 = c + a + 2b = (z + x) + (z – x) + 2y = 2z + 2y = 2(z + y) 是为倍股弦和。
即可知
=
。
(z – x + y)2 = z2 + x2 +y2 + 2yz – 2xz – 2xy = 2z2+ 2yz – 2xz – 2xy
2(z + y)(z – x) = 2z2 +2yz – 2xz – 2xy。
即 (z – x + y)2 = 2(z + y)(z – x)
移项即得以上之比率式，故以上之比率式成立。
﹝四﹞若首率 z + y 是为股弦和，中率 x 是为勾及末率z – y 是为股弦较，以此三数另创新三率如下：
首率 = z + y ，
中率 = (z + y) –x = z + y – x，是为弦较和。
末率 = (z – y) + (z + y) – 2x = 2z – 2x= 2(z – x)是为倍勾弦较。
即可知
=
。证明：
(z – x + y)2 = z2 + x2+ y2 + 2yz – 2xz – 2xy = 2z2 + 2yz – 2xz – 2xy。
2(z + y)(z – x) = 2z2 +2yz – 2xz – 2xy。
即 (z – x + y)2 = 2(z + y)(z – x)
移项即得以上之比率式，故以上之比率式成立。
以下为《下学葊算书》原文：