2020捷克斯洛伐克数学奥林匹克第三轮 A组 -中文翻译

2020捷克斯洛伐克数学奥林匹克 第三轮 A组

海亮高级中学 龙崎钢 译

1.黑板上有两个给定的正整数 和.我们对其进行如下操作：

在每一步中， 将其中一个数替换为它们的和，或乘积，或比值（若为整数的话）对给定的 和 , 求所有可以同时出现在黑板上的整数对.

2.给定. 在边 和 上分别取点, 直线 与 交于点. 证明下列不等式:

3.对实数 ,考虑方程组

(1) 对 , 求方程组的所有实数解.
(2) 证明: 时,所有的实数解均满足 .

4.正整数 满足等式 .
证明: 为完全平方数.

5.等腰 中, . 对边上给定一点 . 在边上分别取点, 使得 . 证明: 过的圆与过 的圆再次相交于直线 上异于点的一点.

6.对任意正整数 , 设 表示所有由数字组成,且可以被整除的-位正整数的个数. 证明不等式:

并求所有使得等号成立的的值.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。