《測圓海鏡》勾股形“日川心”﹝12﹞之五和五較說

《測圓海鏡》勾股形“日川心”﹝12﹞之五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第12勾股形日川心相關之等式。

關鍵詞：皇極股、皇極勾、皇極弦、日川心

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”而右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃日川心，又稱為“皇極”，簡稱為“極”，亦即以下兩圖帶綠色之二勾股形，日川心之斜邊“日川”是為皇極弦，即 c₁₂；其直角為 12，以 12 之位置為 “心”，其勾與股分別為  a₁₂﹝川心﹞與 b₁₂﹝日心﹞。注意知一直角即知某一直角之勾股形，故號碼亦可代表特定之勾股形。

以下為日川心勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

皇極勾﹝川心﹞：a₁₂ =

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

皇極股﹝日心﹞：b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

皇極弦﹝日川﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

日川心勾股形之相關三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

若勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與皇極弦﹝勾股形日川心 (12)﹞有關之五和五較等式：

皇極勾股和即髙弦平弦共。其較則明股內去

勾也。勾弦共即底弦。其較則明弦也。股弦共則邊弦。其較則

弦也。弦較和為髙弦明弦共。又為大股內減大差勾。又為大差弦。其較則小差弦也。三事和即通弦。其較則太虛弦也。又為明勾

股共。又為髙弦內減明弦。又為平弦內減

弦。又為大差勾上減虛股。又為小差股上減虛勾也。

以下為各條目之証明：

皇極勾股和即髙弦平弦共。

皇極勾股和= b₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

已知髙弦﹝即天日﹞：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

又已知平弦：c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

從以上可知 b₁₂ = c₆ 及 a₁₂ = c₈。

共，和也。髙弦平弦共 = c₆ + c₈=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

所以皇極勾股和 = 髙弦平弦共。

其較則明股內去

勾也。

“其較”指皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

已知明股 = b₁₄ =

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

又已知

勾 = a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明股內去

勾 = b₁₄ – a₁₅

=

(b₁ – c₁ + a₁) [

(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[b₁c₁ – a₁b₁ – a₁c₁ + a₁b₁]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[b₁c₁ – a₁c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

所以皇極勾股較 = 明股 –

勾。

勾弦共即底弦。

皇極勾弦共 = c₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

=

[b₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + a₁²]

=

[b₁c₁ + a₁b₁ – b₁²]

=

(a₁ – b₁ + c₁)。

日地底弦﹝簡稱底弦﹞= c₃ =

(a₁ – b₁ + c₁)。

所以皇極勾弦共= 底弦。

其較則明弦也。

“其較”指皇極勾弦較。

皇極勾弦較 = c₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) 。

已知明弦，日月為明弦 = c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以皇極勾弦較 = 明弦。

股弦共則邊弦。

皇極股弦共= c₁₂ + b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=

[a₁c₁ + a₁b₁ – (c₁² – b₁²)]

=

[a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²]

=

(c₁ + b₁ – a₁)。

已知天川邊弦﹝簡稱邊弦﹞= c₂ =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

所以皇極股弦共 = 邊弦。

其較則

弦也。

“其較”指皇極股弦較。

皇極股弦較= c₁₂ – b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁) 。

已知山川

弦﹝簡稱

弦﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以皇極股弦較 =

弦。

弦較和為髙弦明弦共。

皇極弦較和=c₁₂ + (b₁₂ – a₁₂) = c₁₂ +b₁₂ – a₁₂。

c₁₂ +b₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

[b₁² – c₁² –a₁² +2c₁a₁]

=

[ – 2a₁² +2c₁a₁]

=

(c₁ – a₁) 。

已知髙弦 = c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。明弦 = c₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

髙弦明弦共 = c₆ + c₁₄ =

( a₁ +b₁ – c₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)[1 +

(c₁ – a₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁)[ b₁ + (c₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁) 。

所以皇極弦較和 = 髙弦 + 明弦。

又為大股內減大差勾。

已知大股 = b₁；大差勾= 坤月勾= a₁₀ =

=

(c₁ – a₁) 。

大股內減大差勾= b₁ – a₁₀ = b₁ –

(c₁ – a₁)

=

(b₁² – a₁c₁+ a₁²)

=

(c₁² – a₁c₁)

=

(c₁ – a₁) 。

所以皇極弦較和 = 大股內減大差勾。

又為大差弦。

天月大差弦﹝簡稱大差弦﹞：c₁₀ =

(c₁ – a₁) 。

所以皇極弦較和 = 大差弦。

其較則小差弦也。

“其較”指皇極弦較較。

皇極弦較較 = c₁₂ –(b₁₂ – a₁₂) = c₁₂ – b₁₂+ a₁₂。

c₁₂ – b₁₂ + a₁₂

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

[a₁² – c₁² –b₁² +2c₁b₁]

=

[ – 2b₁² +2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁) 。

山地小差弦﹝簡稱小差弦﹞= c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

所以皇極弦較較 = 小差弦。

三事和即通弦。

皇極弦三事和即弦和和 = c₁₂ +(b₁₂ + a₁₂) = c₁₂ +b₁₂ + a₁₂，

c₁₂ + b₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](a₁ + c₁ + b₁)

=

(a₁² + a₁c₁ + a₁b₁– a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²)

=

(a₁c₁ + a₁b₁– a₁c₁ + a₁b₁)

=

× 2a₁b₁

= c₁﹝即大弦或通弦﹞。

另法﹝參閱前圖﹞：

因為 b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) = c₆ = 天日，

a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) = c₉ = 川地。

所以 c₁₂ + b₁₂ + a₁₂ = 日川 + 川地 + 日天 = 天地 =大弦或通弦。

其較則太虛弦也。

“其較”指皇極弦三事較。

皇極弦三事較 = 弦和較 =(b₁₂ + a₁₂) – c₁₂ = b₁₂ + a₁₂ – c₁₂，

b₁₂ + a₁₂ – c₁₂ = –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –

+

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁² + b₁²+ c₁² + 2a₁b₁ – 2a₁c₁ –2b₁c₁)

=

(2c₁² + 2a₁b₁ – 2a₁c₁ –2b₁c₁)

=

(c₁² + a₁b₁ – a₁c₁ – b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

或用公式

(a₁ + b₁ – c₁)² = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

月山太虛弦﹝簡稱太虛弦﹞：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以皇極弦三事較 = 太虛弦。

又為明勾

股共。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

已知山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明勾

股共 = a₁₄ + b₁₅，

a₁₄ + b₁₅ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁c₁ – a₁² + b₁c₁ – b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁c₁ – c₁² + b₁c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

又為髙弦內減明弦。

已知髙弦：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

已知日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

髙弦內減明弦 = c₆ – c₁₄ =

( a₁ +b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)[1 –

(c₁ – a₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以所以皇極弦三事較 = 髙弦內減明弦。

又為平弦內減

弦。

已知平弦 = c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

又已知

弦 = c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平弦內減

弦 = c₈ – c₁₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[1 –

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以皇極弦三事較 = 平弦內減

弦。

又為大差勾上減虛股。

已知坤月勾﹝又稱大差勾﹞：a₁₀ =

=

(c₁ – a₁) 。

又已知月泛股﹝又稱太虛股﹞：b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大差勾上減虛股=a₁₀ – b₁₃ =

(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁) [

–

(c₁ – b₁)]

=

(c₁ – a₁)(a₁² – b₁c₁ + b₁²)

=

(c₁ – a₁)(c₁² – b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以皇極弦三事較 = 大差勾上減虛股。

又為小差股上減虛勾也。

已知山艮股﹝又稱小差股﹞：b₁₁ =

=

(c₁ – b₁) 。

又已知虛勾泛山勾﹝又稱太虛勾﹞：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

小差股上減虛勾 = b₁₁ – a₁₃ =

(c₁ – b₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=  (c₁ – b₁)[

–

(c₁ – a₁)]

=

(c₁ – b₁)(b₁² – c₁a₁ + a₁²)

=

(c₁ – b₁)(c₁² – c₁a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以皇極弦三事較 = 小差股上減虛勾。

以下為《測圓海鏡細草》原文：

以下為《測圓海鏡》原文：