《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說

《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及各勾股形與極弦、虛弦、明弦、

弦相關之等式。

關鍵詞：極弦、虛弦、明弦、

弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明諸弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意 i 為直角之點，亦可表示一勾股形。另外注意勾股定理成立，即 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。至於各弦之名稱及位置可參閱上兩圖。

以下為與諸弦有關之等式：

極弦乃髙股平勾共。又為平弦明弦共。又為髙弦

弦共。又為大差弦內減髙平二弦較。又為小差弦內加髙平二弦較。虛弦乃皇極黃方面。又為明勾

股共。又為髙弦內減明弦。又為平弦內減

弦。明弦乃髙弦內減虛弦。

弦乃平弦內減虛黃。黃廣弦黃長弦相並為大一虛弦共也，以此數減於大和餘即虛和，若以二弦相減餘即虛弦平弦共也﹝案：“虛弦平弦共”此題數偶合，當云“二極差”﹞。黃廣弦又為大差一虛弦共。黃長弦又為小差一虛弦共。以黃長弦減於大勾餘即虛勾。以黃廣弦減於大股餘即虛股。

以下為各條目之証明：

極弦乃髙股平勾共。

已知髙股﹝在勾股形天日旦或日山朱﹞：b₆ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

平勾﹝在勾股形月川青或川地夕﹞：a₈ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

髙股平勾共 =

( a₁ +b₁ – c₁) +

( a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[b₁² + a₁²]

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

已知日川皇極弦﹝簡稱皇極弦﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以極弦= 髙股 + 平勾。

又為平弦明弦共。

已知平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞=c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

明弦﹝在勾股形日月南 14﹞= c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

平弦明弦共 = c₈ + c₁₄ =

( a₁ +b₁ – c₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁) [1 +

(c₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) × c₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

已知極弦 = c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以極弦= 平弦 + 明弦。

又為髙弦

弦共。

已知髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞= c₆=

( a₁ + b₁ – c₁) 。

弦﹝在勾股形山川東 15﹞= c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

髙弦

弦共 = c₆ + c₁₅

=

( a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)[1 +

(c₁ – b₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁)[b₁ + (c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁) × c₁

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以極弦= 髙弦

弦共。

又為大差弦內減髙平二弦較。

天月大差弦﹝簡稱大差弦，在勾股形天月坤 10﹞= c₁₀=

(c₁ – a₁) 。

已知髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞ = c₆=

( a₁ + b₁ – c₁) ；

平弦 ﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞= c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

髙平二弦較 = c₆ – c₈

=

( a₁ +b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

( a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

大差弦內減髙平二弦較 =

(c₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

[(c₁ – a₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

=

[2a₁c₁ –2a₁² – (b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)]

=

[2a₁c₁ –2a₁² – b₁² + a₁²+ c₁b₁ – c₁a₁]

=

[a₁c₁ – a₁² – b₁² + c₁b₁]

=

[a₁c₁ – c₁²+ c₁b₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較答案兩式，可知相等，所以極弦= 大差弦內減髙平二弦較。

又為小差弦內加髙平二弦較。

山地小差弦﹝簡稱小差弦在勾股形山地艮 11﹞= c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

髙平二弦較 =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)﹝見前條﹞。

小差弦內加髙平二弦較 =

(c₁ – b₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

[(c₁ – b₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

=

(2b₁c₁ –2b₁² + b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)

=

(b₁c₁ – b₁² –a₁² + a₁c₁)

=

(b₁c₁ – c₁²+ a₁c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以極弦= 小差弦內加髙平二弦較。

虛弦乃皇極黃方面。

已知虛弦﹝簡稱太虛弦，在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

皇極﹝在勾股形日川心 12﹞黃方面 = 皇極弦三事較

= 弦和較 =b₁₂ + a₁₂ – c₁₂ 。

b₁₂ + a₁₂ – c₁₂ = –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –

+

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁² + b₁²+ c₁² + 2a₁b₁ – 2a₁c₁ –2b₁c₁)

=

(2c₁² + 2a₁b₁ – 2a₁c₁ –2b₁c₁)

=

(c₁² + a₁b₁ – a₁c₁ – b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以虛弦 = 皇極黃方面。

又為明勾

股共。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明勾

股共 = a₁₄ + b₁₅，

a₁₄ + b₁₅ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁c₁ – a₁² + b₁c₁ – b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁c₁ – c₁² + b₁c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

所以虛弦 = 明勾

股共。

又為髙弦內減明弦。

已知髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞= c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

日月為明弦﹝簡稱明弦，在勾股形日月南 14﹞=
c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

髙弦內減明弦 = c₆ – c₁₄ =

( a₁ +b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)[1 –

(c₁ – a₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以虛弦 = 髙弦內減明弦。

又為平弦內減

弦。

已知平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞ = c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

弦 ﹝在勾股形山川東 15﹞= c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平弦內減

弦 = c₈ – c₁₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[1 –

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以虛弦 = 平弦內減

弦。

明弦乃髙弦內減虛弦。

已知日月為明弦﹝簡稱明弦﹞，在勾股形日月南 14。

明弦 = c₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞= c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

髙弦內減虛弦 = c₆ – c₁₃=

( a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

[

( a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²]

=

( a₁ + b₁ – c₁)[1–

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

( a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁ – b₁ + c₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以明弦 = 髙弦內減虛弦。

弦乃平弦內減虛弦。

已知

弦 ﹝在勾股形山川東 15﹞= c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞=c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

平弦內減虛弦 = c₈ – c₁₃ 。

c₈ – c₁₃=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – a₁ – b₁ + c₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以

弦 = 平弦內減虛弦。

黃廣弦黃長弦相併為大弦虛弦共也。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦在勾股形天山金 4﹞：c₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

月地黃長弦﹝簡稱黃長弦在勾股形月地泉 5﹞：c₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

黃廣弦黃長弦相併 = c₄ + c₅

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

= c₁(a₁ + b₁ – c₁)[

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

已知大弦= c₁；虛弦 = c₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大弦虛弦共 = c₁ + c₁₃= c₁ +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=c₁ [1 +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

=

(a₁b₁ + c₁² –c₁a₁ – b₁c₁ + b₁a₁)

=

(2a₁b₁ + c₁² –c₁a₁ – b₁c₁) 。

=

(a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁)

=

[(a₁ + b₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

=

(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

所以黃廣弦黃長弦相併 = 大弦虛弦共。

以此數減於大和餘即虛和。

“大和”即通弦上勾股和 = a₁ + b₁，

此數減於大和即 (a₁ + b₁) –

(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁)(a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

=

(a₁ + b₁)[–a₁(c₁ – b₁) + c₁(c₁ –b₁)]

=

(a₁ + b₁)(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) 。

“虛和”即太虛勾股和 = b₁₃ + a₁₃。

太虛勾股和=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

比較答案兩式，可知大弦虛弦共= 太虛勾股和。

若以二弦相減餘即虛弦平弦共也﹝案：“虛弦平弦共”此題數偶合，當云“二極差”﹞。

“二弦相減”即黃廣弦黃長弦之差。

二弦相減 = c₄ – c₅

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=c₁(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

已知虛弦 = c₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

平弦 = c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

虛弦平弦共 = c₁₃ +c₈ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)² +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

(a₁ + b₁ – c₁) + 1]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁ + b₁ – c₁)。

以上不能得二弦相減之值。

“極差”即皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“二極差”即乘以 2 即：

2 ×

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

所以黃廣弦黃長弦之差 = 二極差。本條以“案語”為是。

黃廣弦又為大差弦、虛弦共。

已知黃廣弦﹝在勾股形天山金 4﹞ = c₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞=c₁₀ =

(c₁ – a₁) 。

虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大差弦、虛弦共 = c₁₀+ c₁₃ =

(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)[ 1 +

(c₁ – b₁)]

=

(c₁ – a₁)( a₁ + c₁ – b₁)

=

(c₁² –a₁² – c₁b₁ + a₁b₁)

=

(b₁² –c₁b₁ + a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

所以黃廣弦 = 大差弦、虛弦共。

黃長弦又為小差弦、虛弦共。

已知黃長弦﹝在勾股形月地泉 5﹞：c₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

又已知小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞= c₁₁=

(c₁ – b₁) 。

虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

小差弦、虛弦共 = c₁₁ + c₁₃ =

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)[1 +

(c₁ – a₁)]

=

(c₁ – b₁)[b₁ + (c₁ – a₁)]

=

(c₁ – b₁)[c₁ + b₁ – a₁]

=

(c₁² – b₁²+ a₁b₁ – c₁a₁)

=

(a₁² + a₁b₁ – c₁a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以黃長弦 = 小差弦、虛弦共。

以黃長弦減於大勾，餘即虛勾。

已知虛勾﹝在勾股形月山泛 13﹞= a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) ，大勾 = a₁。

黃長弦減於大勾 = a₁ – c₅

= a₁ –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

=

[– a₁(c₁ – b₁) + c₁(c₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) 。

所以黃長弦減於大勾 = 虛勾。

以黃廣弦減於大股，餘即虛股。

已知月泛股﹝又稱太虛股在勾股形月山泛 13﹞= b₁₃ 。

b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

黃廣弦﹝在勾股形天山金 4﹞= c₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) ，大股 = b₁。

黃廣弦減於大股 = b₁ –c₄

= b₁ –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

=

[– a₁(c₁ – b₁) + c₁(c₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以黃廣弦減於大股 = 虛股。

以下為《測圓海鏡細草》原文：