八省联考对“逻辑推理的全面、深度考查”
数学逻辑推理无处不在,直接考查推理的有 3,17 和 20 题,分值非常高。
20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
，故其总曲率为
.
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数 = 2 ,证明:这类多面体的总曲率是常数.
【点评 1】北京大兴国际机场反应数学的应用价值。
【点评 2】此题给出“曲率”的概念,要求学生理解这个概念,并在具体的问题情境中求出曲率。对概念的学习:会叙述、会举例、会判断,这也是题目的叙述。
【点评 3】选修 2—2 第 83 页凸多面体的性质:顶点数-棱数+面数 = 2 。题目设置从三棱锥到四棱锥,总曲率都是
,猜想一般情况也是
,这是从特殊到一般的归纳推理。类比四棱锥的解题过程,总曲率=
,逻辑推理:破解此题关键在于找到“棱数,面数”之间的关系,观察就会发现到每条棱被两个平面占用。
【点评 4】此题太精彩了。《高观点下全国卷数学压轴题解题研究三部曲》从解题的思维、看问题的观点……
3.关于 x 的方程
，有下列四个命题:甲: x = 1 是该方程的根;乙: x = 3 是该方程的根;丙:该方程两根之和为 2 ;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是( )
【解析】注意到甲乙正确,则丙丁错误,故甲乙必有一个错误。如果甲丁正确,则乙丁错误,
故甲错。
【点评 1】相互矛盾或联系点就是逻辑推理的切入点。
【点评 2】《全国卷高考数学分析及应对》如是说:其实早在 2014 年高考数学把考查逻辑推理能力的题目作为命题的首要任务,运用所学知识作为载体,较为明显考查逻辑推理能力的题目占到 50%以上。
【点评 3】此题放在第 3 题,学生往往不知道怎么切入,导致简单问题难度上升。
【点评】北京卷反复考查,要说明一个命题为真命题,严格按照定义证明,而要否定一个命题,只需举出反例就可以了。当时阅 21 题,要说明
, f (x ) 非奇非偶函数,是几十万份试卷,仅几份试卷举了反例。在数学的研究中,当我们多次尝试证明无果,可以反过来想,它不成立,有时候构造一个反例就是一个重大突破。
下期预告：2021八省联考函数导数赏析，敬请期待~