学习的真谛大道至简——为何要背平方表到100以上？
关于孩子学习的方式方法，争论很多，大陆货和民间数学家是难以理解的，专业人士常常各有立场不说实话也不会告诉你，所以本文以背平方表这样一个小的实例，给大家展现和分析一下成为专家需要的不同视角。
为何要背平方表到100以上？
最近网络有一个热闹，就是对平方表该不该让孩子背诵？到底要背到多少？争论不休有各种意见，对此是鸡汤教育家大陆货们，大加鄙夷，某奥数名师力挺而理由只说了考试计算快，民间数学家看客蹭酱油呵呵哒，问题到底该怎么样的认识，很多朋友来问我，对此特别写了本文。
首先是多背一些数字的计算结果，对培养孩子的数感肯定是有用的，数字的感觉，是要多接触的。多记多背得很多的结果，先记忆多了，就是有感觉的。对数学这样的学科，一样是也需要足够的记忆的，都是临时的是不成的。这个与'读书破万卷，下笔如有神'道理是一样的。
就如业余的下棋高手，自己不背棋谱和定式，看见孩子们学棋背棋谱和定式，也会呵呵哒！这里的差别是民间高手就是娱乐，而学棋不光是娱乐，要专业化的高度，一定是要有一定的记忆、枯燥和积累，不是业余高手那样只为了自己好玩。孩子学习数学，一样的不能是娱乐，也是要为了未来的高度的。背了棋谱的小棋童，就是比小区业余高手要厉害！（你看过那个十岁小女孩大胜小区第一高手的视频么？那个就是孩子肯定背过屏风马怎么破中炮挺中兵的棋谱），你不能说他是套路，你说自己是娱乐不关心胜负，其实与阿Q又有啥区别？孩子学习数学，是为了要考试、比赛、应用和研究的，不是鸡汤玩玩的释放天性。
2020年网络流行的一个视频，其实是棋谱上的，学过棋的会认识，屏风马破中炮挺中兵！想一下为何家长做不过自家十岁奥数牛娃，为何绝大多数中小学老师做不过小学奥数牛娃，原因是他们都是业余的，孩子以学习为专业，是专业选手！
很多人认为有了计算器，计算其实不重要，其实是对自己计算的感觉差别，不体会、不理解，是业余的。就如你说有了度娘都可以百度去问、去搜索，但你知道该搜索啥内容么？如果你没有基础的知识记忆，你是不知道怎么样搜索，也想不到去搜索的。就如你记住了某个数是平方数，那么你做题看到它的时候，就会想起来它是平方数以及与平方数有关的数论知识，就是给你很多有用的启发；但在你不知道它是平方数的时候，要你想到去计算一下它是不是平方数，这就拐了好几道弯子了！难的不是你去计算。而是你想到，但你背住了，一眼就知道了。
这个不是简单的快一分钟的事情，计算的差别可能是一分钟，而想到时间的差别，可以是一小时！对孩子的数学，找规律、数论、数字谜、因式分解等等，平方数都是基础。这和下棋一样，你知道一些招数背住了，比你想到它容易多了，棋谱上的招数可能是前人想了很久很久的，这就是为何要去背棋谱的原因。
再进一步，计算快一分钟，仅仅是考试的时间问题么？其实你计算的快慢，是与你思考的深度有关的，快慢的差别，会量变到质变的！你一个小环节慢一点点，对难题思考的环节和逻辑关系复杂了，环节累积起来，会非线性增加的！整体上的差别是非线性的差别，差别大到你最后思考不下去。思考的极限是你在一定时间内能够计算多少环节！就如下棋你能够算几步？高手可以十几步，可以盲棋，可以盲棋还十盘以上同时下，而普通人超不过三步。数学思考的逻辑链也一样，算得慢，逻辑链就长不了。
再进一步讲，背诵平方表到100，就真的就是畏途么？其实100以内的平方，就是100个数，前20和10的倍数，还应当已经记住了，真的要记忆的，也就是70个左右，这个与背单词相比，就是一天的功夫，所花费的，真的是非常有限。当然有语言好数感不好的，背单词很快，背数字很慢的，但孩子数感不好，就更应当多练习，能力是练出来的，不练是永远不行，而且还会衰退。
数学一样离不开刻意练习，就如你踢球要不断的练习一样，而嘲笑你的苦练的，就如拉磨的驴，认为人家踢球的重复练习与自己拉磨没有区别一个样子。中国有一句老话，叫做下士闻道大笑之，不笑不以为道。中国的数学教育从业者，就是有一群自己根本不爱数学的人，他看数学就如同驴拉磨，体会不到数学的美感，肯定是屎尿多的懒驴，而且嘲笑别人努力的嗓门还特别的大。
如果孩子真的投入进去背一下，马上就可以发现其中的美感，平方数是有规律的，连续的平方数的差，是一个奇数的等差数列，发现这个规律之后，其实连续的背下来，会背得更快。而且平方数其实像一个个的数桩，给出了平方增长的大致数量范围，对相关的乘积估算，也会有一个大致的概念和印象，从这个概念和印象开始，其实孩子的数感就在建立了。所以背到100的平方数，除掉特整数，其实只记忆70多个数字。就算背到到200又如何，工作量真的很有限。
鸡汤数学工作者还理直气壮的质问平方数有啥用，让孩子背诵的数学幕后逻辑，牛师才不会给你写出来写明白呢，人家凭啥教给你同行？你付费了么？人家是教给亲学生的，高手不说，民间职业数学家就不懂。平方数的用途，其实聪明的孩子学多了，都会有所感觉，都会总结规律，其中平方数真的有大用的。
儿子7岁时候自己主动的数字总结，接触数字，孩子会有很多感觉！
首先大家都知道的是为了升学，各种神测越来越重要。在奥数被禁以后，神测是有替代作用的。神测的各种数字规律，很多是围绕平方关系的。神测可能还是应试，但真的平方数的记忆，对大量的计算，是非常有好处的，幕后规律牛师当然是不公开告诉民间数学家的，人家的秘籍，不愿意成为大陆货。
平方数记忆好了，对各种乘法运算是非常有用的，比背大九九有用。因为机灵的孩子，都会用好平方差公式，平方差公式才是关键。比如计算47X51，聪明的孩子立即可以告诉你是2397，原因是他记住了49的平方是2401，47X51是49的平方减去2的平方。同样的，计算79X85，聪明的孩子立即告诉你是6715，因为他记住了82的平方是6724，用它减去3的平方就可以了。
你可能说我复杂一点，要是46X57看你怎么算，其实也是算的很快的，因为可以迅速算出来46X56，是51的平方减去5的平方，然后加上一个46就可以了，而且46和5的平方25可以先算，也就是51的平方加上21即可，结果是2622。
还有你可以说我数字大一点，比如78X43你怎么算？其实这个可以先算39X43，这个是41的平方减2的平方得到1677，然后再乘以2就可以了。还有人说我可以两个大质数相乘你不能分解，但其实我建议的是大质数表也是要背的，大质数之间的乘积也是背下来的。质数背熟了，玩初等数论的优势非常大。
总之平方表背熟了，孩子能够灵活举一反三的使用平方差公式，其实所有的两位数乘法就可以计算的很快，如果要背两位数乘法表，那可是几千个数的事情。而如果背下来两三百的平方数就简单多了，背好了以后，很多三位数乘法也可以心算了。这些能够心算，再说一遍，不光是提升考试的计算速度，你思考的时候直接在脑子里能够算出来数字，你的思考深度和逻辑链，比需要中断思考来计算快很多的！就算你使用计算器，也思路被打断了，思路会变慢很多的。
中国有熟能生巧的共识，你不熟怎么来巧？其实对很多数字内容的背诵，是孩子启蒙的一个过程，这个过程是非常重要的，是绕不过的。就如你举重，要使用的是巧力和爆发力，怎么省力怎么来；但你练习举重锻炼肌肉，则使用器械是怎么废力怎么来，其实对人的脑力训练也是一样的。解题是要巧思维，但锻炼解题能力，则刻苦的训练，费力的训练少不了。大陆鸡汤在训练能力的时候讲捷径，还不如直接说偷懒比较清楚明白。
能力的培养，经常是大巧若拙，就是一点点的背，可能是最大的高效率。记得我们成长的时候都讲'遍历'的，我们同学写了一篇流传很广的文章，叫做《遍历——科大的精神》，得到大家的普遍认同，而真的能够遍历吃苦的并不多，孩子学习，从小养成能够吃苦的习惯也很重要，鸡汤要忽悠你的，其实是呼唤天生的惰性，惰性多舒服，懒病最难治。你是学棋的刻苦，他给你讲下棋的快乐，按照鸡汤类似的业余棋手的做法，水平永远是玩玩而已，最多是玩的高手，能够四处得瑟一下。
我这里转载《遍历——科大的精神》当中节选的一段：
其实很简单的——就是专家精神，专家是和权威完全不一样的。
什么是专家？知道所有的，就是专家。
所以所有的科大人，无论做什么，首先都会遍历，各态历经一下。
什么是遍历？
就是所有的东西都过一遍。
比如学英语，那就背词典吧。而且要背新英汉词典，有牲口是背韦氏大词典的。
学高等数学，那当然要做《吉米多维奇》的。
这个精神不只是用来读书，是种渗透到骨髓里的习惯。
举些例子：
小时候用四张扑克算24大家都会吧？
科大人怎么玩呢？
4张牌，从1,1,1,1到k,k,k,k不就1820种组合么，花2个小时都写一遍就是了。
有阵子我们班开始玩，于是人人都写，我大概就写过5遍。
我们都很懒得认真去背住，不过自然会记住4,4,10,10/3,3,7,7/1,3,4,6所有这类比较难算的题目；
也记住了3,4,6,7这样看上去算得出来其实算不出来的组合，等等。
在这种基础上，别人能玩过我们吗？
我们是背的，别人是算的。
再举个遍历的例子，打游戏时的遍历。
我一个朋友是CS上海冠军。
CS里子弹穿墙是拐弯的，遍历的意思就是找一帮朋友，站在每堵墙后面，从所有角度一次次打，记住各种枪不同角度穿过各种墙后怎么变化。
一枪暴头是这么遍历出来的。
还有朋友一周内就成为F1的专家。因为他背住了所有赛道的每个数据，哪个弯多少速度什么的。
自然，所有车队的所有车手的所有数据，他也背住了。
这些是不务正业的例子。其实务正业的例子就更多了。
科大出来转行是很容易的事情。
为什么？
因为能在一周内成为这个行业的专家。
怎么成为的？
遍历。
比如我一个朋友去光明乳业，第一天把所有网上的乳业文章下了下来，看了一遍，大约400多篇。第三天，看的就是乳牛的饲养技巧了。一周后，任何乳业专家，无论是市场营销方面还是牧场管理方面，都不敢在他前面乱说话了，也都认可他是专家了。
这样的例子比比皆是的。我的每个同学都觉得如果不遍历，那就不是专家，如果不是专家，那怎么敢开口说话呢？
看看文中，背下来24点的所有可能的牌张组合变化，仅仅是为了取胜，比背100以内的平方表困难多了。去背这个，背后是一种精神。文章当中去光明乳业的是我的同学，他很快从普通招聘员工到了总裁级别，就是那一份努力。我转过很多行业，对此也深知这一点，我们当年从小的训练，是一种习惯。遍历还建立起来了一个做人的信心，就是看似很难的事情，只要你敢于坚持，其实到专家水平，是很快的，比你想象要快得多。强度决定你的高度，不是时间决定你的高度，很多人干一辈子，还是庸庸碌碌，但你能够遍历能够上强度，很快你就可以超越他，可以远远甩开他成为专家。懂得遍历，是不容易的。
孩子的起步，考验家长的认知。就如大家看学霸牛娃时间多，其实是从小的熟练度训练，坚持速度快强度高简单的道理，坚持带来的效率是非线性的。孩子学不好，首先是拖沓速度慢，以后不成功，也是一样的。因此不要简单看小时候的刻意训练，背后还有习惯的养成、意志和信心的培养。
所以很多规则和背后的规律，人家不一定都教给你，人家就让你做就可以了。在众多的鸡汤选择之下，给孩子找到正确的方向，知其然已经不容易了。反击毒鸡汤，让社会知道所以然的，是一个时代的任务。背诵一些数学知识，一样是少不了的。背平方表，其实是对想要搞得专业一些的孩子需要的。当然如果你的孩子的业余的，也确实没有必要，文科生的数学，与依靠数理技能工作的人的数学，学习要求是不一样的。你想要孩子是大陆货、还是民间数学家，还是数理博士，当然要求不同，不同的人就会说不同的话。但对未来数字世界，数学的要求，数理的技能，数理的从业者，都是增加的，国家的实力，在数理技能高的科技群体上，培养未来这群人的高度，就是从孩子开始，要从孩子的专业素养开始。