2021年美国第二届圣诞数学奥林匹克 -中文翻译

这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛.

第一天

1.有一个由2021个单元格组成的几何图形,满足如下条件: 每个单元格至少与另一个单元格有公共边(我们称有公共边的单元格为相邻的); 从任意一个单元格出发, 可以经过若干个相邻的单元格到达任意另一个单元格; 每个单元格被染成白色或黑色, 且任意两个相邻的单元格颜色不同.求黑色单元格个数的最大值.

2.设表示正实数集合, 表示非负实数集合. 求所有函数,使得对任意正实数,均有

3.如图, 内接于圆,垂心为. 直线与交于点, 连结中点,中点,直线与交于两点. 过作交于,作关于的对称点. 若分别与直线交于点, 求证: 共线.

第二天

4.在中,为中点. 外接圆与再次相交于点,  外接圆与再次相交于点. 在外接圆上取点,使得, 过作圆与切于点. 已知 外接圆,外接圆分别与再次相交于点. 证明: 直线与的外接圆相切.

5.是否存在正整数 , 使

也为正整数?

6.正实数 满足 . 求证:

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。