六年级奥数试题及答案:多次相遇问题(高难度)

1.甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发,甲以每秒6.25米,乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步,他们共同跑了8分32秒,在这段时间内两人多次相遇(两人同时到达同一地点叫做相遇).他们最后一次相遇的地点离乙的起点有()米.甲追上乙()次,甲与乙迎面相遇()次.

分析:8分32秒=512(秒).

①当两人共行1个单程时第1次迎面相遇,共行3个单程时第2次迎面相遇,共行2n-1个单程时第n次迎面相遇.

因为共行1个单程需100÷(6.25+3.75)=10(秒),所以第n次相遇需10×(2n-1)秒,

由10×(2n-1)=510,解得n=26,即510秒时第26次迎面相遇.

②此时,乙共行3.75×510=1912.5(米),离10个来回还差200×10-1912.5=87.5(米),即最后一次相遇地点距乙的起点87.5米.

③类似的,当甲比乙多行1个单程时,甲第1次追上乙,多行3个单程时,甲第2次追上乙,多行2n-1个单程时,甲第n次追上乙.因为多行1个单程需100÷(6.25-3.75)=40(秒),所以第n次追上乙需40×(2n-1)秒.当n=6时,40×(2n

-1)=440<512;当n=7时,40×(2n-1)=520>512,所以在512秒内甲共追上乙6次.

解答:解:①当两人共行1 个单程时第1 次迎面相遇,共行3 个单程时第2 次迎面相遇,共行2n-1个单程时第n次迎面相遇.

因为共行1 个单程需100÷(6.25+3.75)=10(秒),

8 分32秒=512秒,(512-10)÷(10×2)≈25(次),所以25+1=26(次).

②最后一次相遇地点距乙的起点:

200×10-3.75×510,

=2000-1912.5,

=87.5(米).

③多行1个单程需100÷(6.25-3.75)=40(秒),所以第n次追上乙需40×(2n-1)秒.

当n=6时,40×(2n-1)=440<512;当n=7时,40×(2n-1)=520>512,所以在512秒内甲共追上乙6次.

故答案为:87.5米;6次;26次.

点评:此题属于多次相遇问题,比较复杂,要认真分析,考查学生分析判断能力.

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