从示波器的选型看采样原理

带宽

傅里叶级数

Ø  根据傅立叶级数的原理，周期函数都可以展开为常数与一组具有共同周期的正弦函数和余弦函数之和。傅里叶级数可视化：https://bl.ocks.org/jinroh/7524988
其展开式中，常数表达的部分称为直流分量，最小正周期等于原函数的周期的部分称为基波或一次谐波，最小正周期的若干倍等于原函数的周期的部分称为高次谐波。
因此高次谐波的频率必然也等于基波的频率的若干倍，基波频率3倍的波称为三次谐波，基波频率5倍的波称为五次谐波，以此类推（因为是正弦，偶次项展开都消掉了）。不管几次谐波，他们都是正弦波。

Ø  假定周期性信号的T逐渐变大，则谱线间间隔将逐渐变小，如果外推周期T无限放大，变成无穷大，则信号或者函数就变成非周期信号或函数了，此时谱线就变成连续的了，而非一根一根离散的谱线

在数字信号对射频产生干扰时，往往是因为数字信号中有被干扰信号的同频或倍频（详见同频干扰原理）谐波，加电容是常见手段，电容对不同频率的信号有不同的容抗，在信号和地之间加一个在f0容抗很小的电容，那么就可以滤掉f0的谐波。留下正弦基波和其他分量，如果再加一个电容，又会去掉部分谐波

数字信号一般是方波，边沿非常陡峭，如果从电容的物理特性来考虑，因为电平变化的时候，电容会有充放电的行为，那么就会导致信号的边沿变缓，越来越趋近于正弦波，谐波分量越来越少

从上两个角度都可以看出来，电容滤波就是去除了信号中的某个频率的谐波分量，并且会导致信号波形向着正弦波趋近，出现失真

信号的带宽

在确定示波器的带宽之前，首先要明确信号的带宽，带宽就是频带的宽度，信号的带宽是信号中最重要的正弦波频率分量。由于术语"显著"的模糊性，除非添加详细的限定符，否则带宽的概念只是近似值。一个标准正弦波只有其基频这一个频带，频率是多少，带宽就是多少。但是大部分信号比正弦复杂得多，出了基频外，还有很多高频分量。带宽和信号的频率不是直接相关，而是和信号含有的高频分量相关，反应在时域上，就是信号的 上升/下降沿的时间，通过不断向一个正弦信号中叠加高次谐波（整体信号幅值保持不变），测量信号0.1~0.9的上升边沿，可以近似 的拟合出信号的带宽BW=0.35/RT

对于理想方波，要想得到0上升边沿，那么谐波分量会延伸到无穷大，而对于实际的波形，上升沿不可能为0，所以其频谱分量比理想方波衰减得更快，也就是说其各个频率的谐波，比理想方波同频率的谐波幅值要低，当远低于理想方波时就可以忽略了。

取一个RT（0.1~0.9上升沿）占信号周期8%的梯形信号（这个比例在时钟波形中较为常见），和理想方波对比，会发现，梯形5次谐波能量为方波5次谐波的70%，7次谐波只有30%了，所以对于一般的方波信号，只要能准确的测量到其5次谐波，就可以恢复出较为完整的波形。如前文所述，此时信号带宽可以简单计算如下

RT=8%T=8%*1/f

BW=0.35/（0.08/f）=4.375f  基本符合5次谐波频率

示波器的带宽

示波器的带宽决定了它能采集到的最高频率，如果带宽不够，那就就相当于对信号进行了高频滤波，造成波形失真。当然，信号超过带宽之后衰减的只是幅值，并没有衰减频率，如果仅仅关注频率参数，就没有那么多顾虑了。如前文所述，信号中是存在很多高次分量的，但是带宽有限就无法测到，也就是示波器的输入相当于是低通滤波，示波器带宽就是指该低通滤波器的3dB截止频率。如果测试一个频率与示波器标定带宽相同的正弦波信号，电压幅度测试结果将下降为真实电压值的0.707，如果用对数表示，则测量幅度将降低3dB。

所以即使是测量正弦信号，示波器的带宽也要高于信号带宽，具体高多少，取决于对测试精度的要求和示波器低通滤波的频响，如上为一个100M带宽示波器的频响曲线。示波器内部的幅频响应曲线可以近似等效为一个RC低通滤波电路，在20M左右，幅值衰减小于等于2%，此时示波器的带宽就是信号带宽的5倍（计算参见为什么示波器带宽和被测频率有“5倍法则”？ - 知乎 (zhihu.com)）

那这样测量信号时，示波器岂不是要25倍基频的带宽了？实际上现在很多高端的示波器会通过DSP filter等手段使频响曲线变平坦，减小高频的衰减，综上种种，5倍带宽法则仍然适用。但是如果对波形的细节要求很高，则需要更高带宽的测量设备。

采样

采样定理

倘若对一个正弦信号进行采样

如果采样频率等于信号频率，那么采样的时间间隔等于信号周期，因而，信号的每个周期只能采集到一个数据，如下面图所示，将这样采样数据点连成线条，得到的线条将是一条直线，因而，对应的频率成分为0Hz。

采样频率低于2倍的信号频率时，会导致原本的高频信号被采样成低频信号。如下图所示，红色信号是原始的高频信号，但是由于采样频率不满足采样定理的要求，导致实际采样点如图中蓝色实心点所示，将这些蓝色实际采样点连成曲线，可以明显地看出这是一个低频信号。在图示的时间长度内，原始红色信号有18个周期，但采样后的蓝色信号只有2个周期。也就是采样后的信号频率成分为原始信号频率成分的1/9，这就是所谓的混叠：高频混叠成低频了。

如下面左图所示，由于信号中存在超出奈奎斯特频率的信号存在，采样后的信号，将会使超过奈奎斯特频率成分之上的频率关于奈奎斯特频率镜像到奈奎斯特频率以下的可观测区域，如下面右图所示。

采样频率正好是2倍的信号频率，那么，采样的时间间隔为信号周期的一半，因此，信号每个周期内的采样点数为2，也就是每个周期采集两个数据点，如下图所示。将这些采样点连成线条，得到的信号形状为三角波，虽然信号的频率成分没有失信，但是很难保证信号的幅值不失真。因为这两个采样点很难位于正弦信号的波峰与波谷处。也就是说，在很大程度上，采样后的信号，频率是正确的，但是幅值是失真的。

采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律：采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

时域采样定理 　频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图

频域采样定理　对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π / tm 。

如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和幅度改变了。以下两种措施可避免混叠的发生：

零阶保持器

零阶保持器：zero-order holder（ZOH） ^[1]  ，是指实现采样点之间插值的元件。零阶保持器基于时域外推原理，能够把采样信号转换成连续信号。

保持器的作用是将离散信号转换为连续信号，这个连续信号近似的重现了作用在采样器上的信号。最简单的保持器是将采样信号转变为在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，这种保持器，叫做零阶保持器。^[2]

零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。因为在每一个采样区间内连续的阶梯信号的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器^[3]  。

存储深度

存储深度=采样率*采样时间

如图右下方红色方框中，右边两个数值50MS/s和20ms/div相乘，再乘以10，就等于左边的数10MS。当前采样率为50MS/s，当前时基为20ms/div，因为水平轴是10格（有些示波器是12格或14格），因此采样时间为200ms, 50MS/s * 200ms = 10MS。就是说以50MS/s的采样率捕获200ms的波形，需要示波器的存储深度是10MS。

第一个图形表明在采样率足够的前提下观察多个周期的样本，需要的存储深度深度很长，图示中需要36个采样点。第二个图形采样率依然保持不变，但存储深度变小，只有9个采样点，因此只能采样一个周期多点的波形。第三个波形仍然是存储深度很小，只有9个采样点，但仍然要采样和第一个图形一样多个周期的波形，其结果是采样率变小，测量得到的波形就会失真。

存储器保存满了，达到存储深度的极限之后怎么办？我们可以将示波器的存储器理解为环形存储器。示波器不断采样得到新的采样点会填充进来，老的采样点会自动地溢出，这样周而复始的过程直到示波器被“触发信号”“叫停”或者间隔一定长的时间被强迫“叫停”为止。“叫停”一次，示波器就将存储器中保存的这些采样点“搬移”到示波器的屏幕上显示。这两次“搬移”之间等待的时间相对于采样的时间极其漫长，被称为“死区时间”。

对于高端示波器，存储器芯片一直是核心技术，示波器中的ADC速率太快，普通的存储介质根本来不及在这么短的时间内“吞吐”那么大量的数据量。

还是用具体的数字来理解高速ADC的超大数据量对存储器“吞吐量”提出的要求。如ADC的采样率是20GS/s，也就是说每秒钟要采样20G个点，如果每个点8bit。如果ADC的输出是完全按照串行数据的传输到存储器中，那么传输速率就是160Gbps。

其实这么高速的ADC也不可能是单芯片设计的，内部是由很多2.5GS/s或1.25GS/s，250MS/s的“小的”ADC“交织拼接”实现的。