数学思维之多视角思维

横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中。

如同观景一样，当我们观察事物，考虑问题时，所站的角度不同，相应的结果也不同。

多视角思维是多视角、多维度、多模式的发散思维，培养发散思维，关键是要会变化，从多个维度中寻求变化点。

这里用头条一位老师的初中几何题为例，一题多解来阐述多视角思维，体会数学解题思维过程中如何运用和领悟数学思想方法。

图一

方法一

如下图二，连接OC，作FC垂直于OC，且FC=OC。出现”手拉手”模型，易证三角形FCB全等于OCD,故OD=FB。OF=根号2，由FB <= OF+OB，可得FB最大值为根号2+1，此时F、O、B三点共线，对应的C点在AB半圆弧的1/2处，故OD最大值为根号2+1。

图二

这个方法是头条上这位老师提供的，只有一种，我们下面基于多视角思维，一题多解，得到如下多种方法。

方法二

如图三，角CBD为45度，DB/CB=根号2,。根据数学思维体系中的'变换思想'视角，转译或等价变更这道数学题的描述，题目中通过作正方形BCDE产生D点，等价于从C点到D点的变换：旋转变换加位似变换。也就是对AB圆弧上的每一个点C作以B为旋转中心的顺时针45度的旋转变换，之后再作以B为位似中心，位似比为根号2的位似变换。

其实这些变换不仅只施加于AB圆弧上的点，扩大范围，它其实是施加于平面上的所有点。圆心O经过变换后变到O1点，角O1BO=45度，O1B/OB=根号2，易知O1点为AB圆弧的中点。C点轨迹为AB半圆弧，根据合情合理的推理，我们可猜测D点轨迹是圆心为O1的半圆弧，该圆弧的两端分别为A和B经过变换后的对应点D0和B，其中A对应D0，B对应自己，也就是D0B圆弧是D点的轨迹，如图四，半径O1B=根号2。这也是旋转变换和位似变换的性质，它们不改变图形的形状，故圆弧经过变换后，仍是圆弧。

此外从个体的点到点的集合(整体)，对单个点C作旋转与位似变换，相当于对整个圆弧作变换。

图三

图四

由图四易知当O、O1、D三点共线时OD取最大值根号2+1。

上面是根据”变换思想”、对应思想、合情合理推理进行的解题探索过程，通过这个探索，我们可推测D点轨迹为半圆弧，圆心为O1(它是AB圆弧中点，O1O垂直于AB，角O1BO=45度), 半径为O1B=根号2，这是草稿纸上的探索过程，书面上严谨的正式的解题过程如下：

如图三，取AB圆弧中点O1，则O1O垂直于AB,角O1BO=45度。O1B/OB=BD/CB=根号2,角ABC=O1BD，故三角形O1BD相似于OBC，故O1D/OC=根号2，O1D=根号2，即D点到定点O1 的距离为定值根号2，又C点轨迹为AB半圆弧，故D点轨迹为D0B半圆弧(圆心为O1,半径为根号2)，圆弧端点D0对应A点，如图4。由图4可知当O、O1、D三点共线时OD取最大值=O1D+OO1=根号2+1.

草稿纸上探索D点轨迹圆心和半径的思维过程才是重点和难点，正式的解题方法不难，只关注解题方法而不推敲和体会探索解题方法的思维过程是买椟还珠，舍本逐末。

对这道题，除了”变换思想”，还要体会对应思想、合情合理的推理、以及临界点思想在解题思维过程中的运用，对每道有价值的题，都要争取从中领悟数学思想方法，锻炼数学思维，这才是重点，具体的解题方法是其次，例如方法1和方法2。

方法3

C是主动点，D是被动点，显然这题可运用瓜豆原理，它的本质是方法二中的旋转变换和位似变换等。

我们直接从瓜豆原理的视角来解题。

根据瓜豆原理，D点轨迹是圆，考虑到C点轨迹是AB半圆弧，故D点的实际轨迹也是半圆弧，当C点在B点和A时的两个D点是半圆弧的两个端点。

这里不用旋转和位似变换，我们结合特殊值思想来确定这个半圆弧的位置和大小。

图五

动点C点在AB圆弧上运动，要确定D点轨迹圆弧的位置和大小，需要3个点，故我们在AB圆弧上取3个特殊点(A、AB圆弧中点O1、B)作为C点，作正方形得到它们对应的3个D点：D0、D1、B。当C点在A点时，作正方形BCDE，此时的D点为D0；当C点在O1点时，作正方形BCDE，此时的D点为D1；当C点在B点时，显然此时D点就是B点。易知三角形D0D1B为等腰直角三角形，其外接圆圆心为O1，半径为O1B=根号2。剩下就如图四，可得OD最大为根号2+1。

方法4

从代数计算思想的视角，我们可得到如下方法。

图六

在高中，还可用三角函数来求OD最值。