当逻辑出错时会怎样？为什么排中律有时是错误的，在尝试解决最终问题之前，先发现数学的核心基础问题。
排中律是指在同一个思维过程中，两种思想不能同假，其中必有一真，即“要么A要么非A”，是形式逻辑的基本规律之一。
为了对逻辑、公理和数学有了更深刻的理解，我将展示西方哲学的一些缺陷，特别是在康德的先验真理概念中的缺陷。在一个转折中，数学的概念将与德里达提出的“延异”的思想相吻合。
克里特岛的骗子，大约公元前600年
在克里特岛的一个炎热的日子里，哲学家埃庇米尼德斯找到了一种用逻辑来证明一些东西的方法，而这些东西本来是不能用逻辑来证明的。
“所有的克里特人都在说谎”。仅通过这简单的陈述，我就能断定，克里特人不都是说谎的。
如果这句话为真，这就自相矛盾了，因为说这句话的克里特人没有说谎。现在，排中律出现了。这条定律表明，一个陈述要么是正确的，要么它的否定是正确的。我们已经证明了这个陈述不可能为真（因为会出现矛盾）。但所有克里特人是否都是骗子，这是由历史学家和考古学家来判断的问题，而不是我们仅凭逻辑来推论的问题。除非在排中律中做了一个错误的假设。也许还有其他的选择。
逻辑说明
考虑掷骰子。“我将掷出一个6”这句话正确或错误是概率性的。所以二值原理失效了。但排中律坚持认为：“我掷出的要么是6，要么是6”是正确的。
数学基础的震动
排中律在数学中是非常重要的。正如希尔伯特（一位真正伟大的数学家）所说的那样：“把排中律从数学家那里拿走，就像不让天文学家使用望远镜，也不让拳击手使用拳头。”在数学中，我们处理这些抽象的陈述，当有矛盾时，证明某件事不为真，要比实际构建问题更容易。严格直觉主义数学的创始人布劳威尔（Brouwer）在晚年认定，他在拓扑学上的早期发现是无效的，因为它们使用了矛盾证明。例如，考虑一个长方形。你要扔飞镖，飞镖落在长方形中。每次飞镖落地，你就以落点为圆心画一个圆。例如，您可以选择0.1厘米的半径来围绕每个落点画圆（如下图）。重复这样的步骤（每次画的圆半径相同），我们如何证明在有限次投掷后圆覆盖了整个长方形？
我们想证明它对任何具有特定性质的形状都是成立的，这个形状甚至可能是无限维度的！有了排中律，证明就简单了。我们假设我们可以无限地选取点。然后我们可以使用一个众所周知的结果，即如果我们在一个紧凑的空间中投掷无限个飞镖，我们便可以选择一个任意接近的间隔（两个落点之间的距离）。但这是矛盾的，因为点之间的距离大于固定半径。因此，假设命题是错的，我们得到一个矛盾。所以我们推断这个陈述是正确的。但如果没有排除中间定律，你该怎么做呢？数学已经够难的了，不需要增加难度！另一个重要的区别是不矛盾律和排除中间定律之间的区别。
如果你正在烤一个蛋糕，而且它还没完全烤熟，你可能不想肯定它现在是一个蛋糕，但也不想说它不是一个蛋糕。相反，它处于某种中间状态。所以当我们不允许矛盾的事物共存时，也没有限制我们的分类去描述现实。我们允许我们的分类有点模糊。
直觉主义和烤蛋糕
以布劳威尔为首的直觉主义数学家们认为，数学是由由思维构造的对象组成的。¬（¬P）不再是P的有效证明。在布劳威尔看来，你不能把数学陈述的抽象领域贴上真假的标签。这有点抽象，假设希尔伯特在烤蛋糕。希尔伯特从气味中推断出，“烤箱里没有蛋糕”的说法是错误的。所以，他高兴地去叫大家吃蛋糕，因为蛋糕准备好了。但布劳威尔阻止了他，他说“排中律”并不成立。在让每个人吃着半生不熟的蛋糕之前，他应该打开烤箱，看看那是不是蛋糕。布劳威尔承认，希尔伯特有可能是正确的，但他警告说，我们只有亲眼看到才能确定。希尔伯特认为布劳威尔很危险，他认为布劳威尔将永远破坏数学家们制作蛋糕（证明）的能力。
直觉主义
现在你应该明白了，布劳威尔赞同不矛盾定律，但不接受排中律。他对抽象数学领域的否认导致他也否定了双值原则。在布劳威尔的数学概念中，事物必须被建造才能存在。这是一种完全不同的数学概念，需要更多的证明。这看起来很奇怪，但记住一开始的悖论，这是有道理的。布劳威尔的数学方法应用到这个思想实验中，为了证明所有的克里特人都是骗子，我们必须通过每一个克里特人的陈述来“构造”证明，而我们抽象的逻辑证明是错误的。直觉主义是有道理的，但是你准备好抛弃现代数学了吗？这是个棘手的问题。因为直觉主义意味着抛弃大量非常有用的数学。只要数学“运行良好”，也就是产生的结果不会到处出现矛盾，我们就不可能做到这一点。
真实世界和数学
数学着眼于你在给定的结构和公理下所能做出的逻辑演绎。只有当我们应用它时，我们才能给那些范畴和公理注入活力。然后我们就有了德里达的联系，当我意识到这一点时，我感到非常震惊。人类文明早期，只有正整数，通常用来表示猎物的数量。当债务出现时，就有了负数的概念。同样的，复数看起来很抽象，好像不存在一样。但是当你把复数应用到实际情况时，它就有了意义。例如，在量子物理中用复数建模物理现象，或者在一个平面上表示复数，其中乘法对应着旋转和半径的变化。因此，如果经典逻辑的运算在现实世界中的应用看来是合理的，那么在数学对象上的应用也是合理的，只要我们限制对数学对象含义的解释范围。数学一直专注于形式化其内部的抽象联系，因此定义公理在现实世界中的适用性是有意义的。因此，当我们使用拓扑学来理解现实世界时，就需要理解所需的逻辑公理。
悬而未决的问题
这可能为数学的应用提供了一个令人满意的答案。但在数学中有一些与证明相关的陈述，而且似乎是由这个定义的，而不是通过应用赋予意义。有趣的是，集合论最大的问题来自于那些疯狂的集合，它们与现实世界几乎没有任何相似之处。但在何种意义上，一组直观的“对象集合”与我们对现实世界的理解是脱节的？一个失去嗅觉、味觉和触觉（没有外部输入的心灵）的盲、聋、哑的人能想象出物体的样子吗？
康德
我忍不住要对康德说几句。他认为有一些不言而喻的真理，我们可以据此建立我们的知识。但我们已经知道，这是行不通的。我们完全不清楚什么是正确的假设，这取决于我们根据我们对世界先入为主的认识来处理它们。他的观点是错误的：
你必须能够假设对世界的一些知识或理解，以选择和完善你的公理。
我们需要思考的不是必然存在的完美的逻辑系统，而是什么系统适合我们的需要，什么公理是合适的。或者，换句话说，几个世纪以来对纯粹哲学真理的追求，仅仅是由理性创造的，已经终结了。但这种追求很久以前就因为其他原因而夭折了。正如尼采在《超越善与恶》中所说：
目前在整个欧洲，人们处理“真实和表面世界”问题时所表现出的急切和微妙，甚至可以说是狡猾，为人们提供了思考的来源。一个人如果只在背后听到“追求真理的意志”，而别的什么也听不到，他肯定不会自吹自擂自己的耳朵最锐利。罕见的和孤立的情况下，可能真的发生了这样一个真理——某些奢侈和冒险的勇气，希望渺茫的形而上学者的雄心壮志——参与其中：那最后总是喜欢少数“确定性”的大量美丽的可能性；甚至可能还有一些清教徒式的良心狂热分子，他们宁愿把最后的信任寄托在毫无疑问的东西上，也不愿寄托在不确定的东西上。但那是虚无主义，是一个绝望的、对死亡感到厌倦的灵魂的标志，尽管这种美德可以表现出勇气。
自由意志，决定论和逻辑
对于那些感兴趣的人来说，二值原则是否总是成立与决定论有关。在前面的掷骰子的例子中，可能不存在不确定性，只是缺少相关信息。也就是说，知识的缺乏可能与二值原则的失败混为一谈。
