四维空间的本质来自勾股定理？小学生也能理解的四维空间科普

四维空间这个概念在各种场合都能看到，但基本上很少能看到解释的，今天就让我来给大家细细解释一下，用小学生也能理解的方式，如果你看完了还是没有理解，建议回小学重修呢亲！

首先给大家来一个概念上的认识，四维空间是否存在是不确定的，没有人可以证明其存在或不存在。而且从实际的角度出发，其实我们所明确知道的就只有人类活着的三维空间而已，二维和一维都是我们通过经验把三维“降级”获得了，同样，四维是我们给三维“升级”得到的。

从乘法与几何的关系开始

我们都学过方程，x和y是我们最早接触的未知数，但是大家有没有想过，为什么会出现方程呢？方程本身有什么意义？

方程是数学的一部分，而数学是人类生产生活中总结出的计数手段。就说乘法吧，它是加法的进阶，4×5的意思同时等于4个5相加或5个4相加。

而古人在计算面积的时候意识到，用乘法可以对面积进行类似加法的计算。比如我把每一个小黄豆在平面上所占有面积算作1，那么当我用小黄豆铺满某一个平面时，通过数黄豆的数量就可以知道面积的大小。如果是一个长方形区域，我数它的一边排列着40个豆子，另一边排列着50个豆子，就可以用乘法快速计数，得到这个面积中大约可以容纳2000个豆子。

每一个豆子都是对面积的一次分割，于是古人决定给它定一个标准，用相互垂直的线分割平面，并用规定好的长度给小方块定大小。就以我们现在通用的标准长度单位为例子，如果说我们对面积的计算是精确到平方厘米的，那就等于将面积分割成为很多一厘米见方的小块，然后数它们。长与宽就是计数用的单位，一个厘米的长与一个厘米的宽相“对应”就可以数出来一个平方厘米小方块的面积。

这样我们就会发现，数学中的乘法可以映照到现实世界中来。要知道4×5=20的情况下左右两边的性质是相等的，而4cm×5cm=20cm2则完全不一样，左右两边已经不是同一个概念了。

那为什么用垂直的线来分割平面呢？因为这是可以用最少的线对平面进行完全等分的唯一方法，你也可以用三条线将平面分割成许多等面积的正三角形，但是必须要用到三种不同方向的线，将每个等边三角形分割成1平方厘米所需要的线比正方形要多得多。

这，也就是我们小学几何中所以学习的概念，所谓的二维平面，我们都知道二维就是长与宽，通过我的解释现在你们理解了长与宽的意义了吧。所谓的维，就是可以用来计数的参数，我们知道了长与宽的数值，就可以为面积来计数。并不是长宽创造了面积，而是将面积进行分解后得到的计数单位——长度。

为了让大家注意到，我认为有必要再提炼出来并重复一遍——所谓的“维”，就是“参数”。

从勾股定理到坐标

因为数学上的垂直与乘法相照应的关系，我们发现具有直角的几何图形会具有一些与算术相对应的特殊性质，这其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。

这个小学必学的知识，其本质来源于面积，下面这张图可以清晰地让人理解到底是为什么。

现在让将勾股定理的方程稍加改造，得到一个二元方程：x^2+y^2=1^2

说起来，什么是方程？方程其实就是关系的表征，比如上面这个方程，你可以这么翻译它：两兄弟从村委会继承父亲的1公顷林地面积，村委会决定给他们一人分一块正方形的新地，请问这两块地的边长应满足什么样的关系呢？

你看，只要给出其中一个人的林地边长，就可以算出另一个人的林地边长，这就是方程。用总结的方式来说就是——可以体现若干个参数之间关系的式子（上面这个很明显是两个参数，x与y）

因为上面这个方程是用勾股定理改造出来的。所以我们同样可以将它以二维平面面积的方式来理解。直角三角形其实就是长方形的两条边与一条对角线，所以将x和y作为长度来看，这个方程就可以解析成“在对角线长度固定的情况下，所有满足条件的长方形边长关系”。

现在我们把这些长方形都画出来，如果这些长方形对角线的一端重合，那么另一端的点就会构成一个弧形。在这个弧形中每个点到重合点的距离都为1，也就是所谓的圆，上面这个方程也就变成了圆的方程。

通过上面的分析我们可以得到一个概念，那就是“坐标”，用两个边长去确定由它构成的直角三角形的顶点。我们现在得到了两个“参数”与一个“规律”，用它们组成的数学式子就是“方程”。

为什么要从二维升到三维

那么现在让我们进入三维世界吧，不过不是我们熟悉的那种进入，而是从豆子的世界。

之前说到了平铺豆子可能是最早计算面积的方法，但是我强调了一点，就是豆子不可能叠加，为什么呢？因为叠加的两个豆子它们的两个“参数”是完全一致的，我们没有办法用一个二维坐标区分它们俩，所以我们必须要再增加一个“参数”，也就是“高”。

有了长宽高，我们就可以用一个三维坐标（x,y,z）来确定一个唯一的点，两个叠加在一起的豆子也可以轻松区分彼此了。

注意，这里依然得强调，是因为空间本身存在“体积”，而用“长”与“宽”无法描述体积我们才会加入了“高”，这里的逻辑先后非常重要——是存在先行，描述才能跟进。

那么如果我们简单粗暴地直接把圆的方程进行扩展，把x^2+y^2=1^2变成x^2+y^2+z^2=1^2会得到什么呢？答案是球面的方程，这个方程的意思是：在立方体的对角线长度为1的情况下，所有满足条件的立方体相互间的边长关系。

数学家的操作——加一维

好，到这儿为止都是我们可以轻松理解的东西，现在请你再看看圆与球的两个方程，如果你是数学家，你是不是觉得似乎可以顺水推舟地再做一些什么呢？

比如……再给它加个参数试试？整个x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出来看看？

这个式子在算术上很好理解，四个参数，相互间满足一定的关系。

但是根据之前方程可以依托面积或体积照射到现实世界中的规律来看，我们是不是也可以将这个方程画出来呢？

不能……因为在我们生存的宏观世界，体积是空间的基本单位，不存在什么东西用三维无法描述，上文中强调的“存在先行”指出没有需要的维度是没有意义的，加入这个维度我们也找不到需要用它来描述的东西。

但是我们可以对其进行想象与计算，在数学上它与二维或是三维是平等的，所以数学家们当然不可能拒绝它。

这，就是所谓的四维空间。

多出来的一个维度意味着什么呢？如果存在一个四维空间的点，我们对其的认识就只有三个维，这就会造成与之前“叠加豆子”一样的效果，明明是两个不一样的点，但是在我们三维空间看来就是同一个点。

直接看坐标的话会更明显，比如我们找出三维空间中的一个点的坐标：(1,2,3)。那么在四维空间中，(1,2,3,1)，(1,2,3,2)，(1,2,3,3)，(1,2,3,4)……这些点与三维的点共享前三个坐标。也就是说一个四维空间中的物体，它的很多点在三维都是完全重合的。

所以如果有一个四维空间的物体在三维空间被我们看到，那么你能看到的某个点可能是四维空间中的一个点，也可能是一条线；你看到的某条线可能只是一条线，也可能是一个面；你看到的某个面可能只是一个面，也可能是一个体。你看到的某个体可能只是一个体，也可能是“四维世界中无法描述的物体全貌”。

现在我们可以明白，x2+y2+z2+w2=12是四维球体（如果这个东西还能算球的话）的方程，它表示从中心点到对角线的距离都相等的所有四维立方体（如果这个东西还能算立方体的话）的四条边长关系。

研究四维有什么用？

相信你还记得文章开始的话，四维是否存在是不确定的，没有人可以证明其存在或不存在。那研究所谓的四维空间又有什么意义呢？

其实意义非常重大，比如我们对于宇宙的形状的理解。

以前的人们用三维理解宇宙，就解释不了“宇宙的边界外面是什么”这个问题。就像一个平面物体总是有边界的，没有无限大的一张纸。

但是我们可不可以将纸的边界消除同时又不影响面积呢？可以呀！只需要将纸卷起来，就会出现边界的外面是另一端的边界，首尾相接的情况，也就是在二维面中本来按照理解不可能相遇的两个点，在适当的情况下，可以是三维空间中的同一个点。

爱因斯坦对宇宙的理解也是如此，当我们一直向着一个方向前进时，看似稳定的三维空间其实是像纸卷一样在微微卷曲着。在某一刻，我们会来到一个离出发点最远的位置，在那里无论你向哪个方向直线移动，都会不断接近出发点。

没有边界的空间——

三维空间中看似南辕北辙的两个点其实是四维空间中的同一个点，宇宙的本质有可能是一个四维空间中的球体，遵循x^2+y^2+z^2+w^2=12方程的描述。这样的宇宙可以同时满足“体积有限”和“没有边界”两个条件。

怎么样，现在是不是对四维空间的来龙去脉和用处都弄明白了？

最后给聪明的你留一个思考题吧：有关四维空间还有一种描述方式，说二维是过一点可以作两条相互垂直的线，三维就是三条，四维就是四条。这与我上面的解释本质是一模一样的，你明白是为什么吗？