中考数学压轴题分析：等腰直角三角形的存在性问题

【中考真题】

（2020·泸州）如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点的直线交轴于点，交线段于点，若．
①求直线的解析式；
②已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，点是该抛物线上位于第一象限的动点，且在右侧，点是直线上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求点的坐标．

【分析】

题（1）代入点坐标求函数的解析式。

题（2）①根据BD=5DE，可以构造相似三角形，进行转化。

如上图所示，可以转化为BO与OF的比值，求出点F的坐标，进而得到点E和点D的坐标即可。

题（2）②是等腰直角三角形的存在性问题，因为确定了直角顶点，所以分类情况不多。点P的位置只能在l的右侧，但是点R却可以在l的左侧或者右侧，因此需要分两种情况讨论。等腰直角三角形的问题，一般考虑构造三垂直，利用全等得到等量关系。如下图所示，当点R在PQ的左侧时，只需对称过去即可。

【答案】解：（1）抛物线经过，，
设抛物线的解析式为，
将点坐标代入抛物线的解析式为中，得，
，
抛物线的解析式为；

（2）①如图1，
设直线的解析式为中，得，，
由①知，直线的解析式为，
，
或（舍，
当时，，
<span role="presentation" data-formula="\therefore P" (-1+\sqrt{13}'="" data-formula-type="inline-equation">，，
即满足条件的点的坐标为或，．