第12招：无中生有-隐零点问题
第12招：无中生有 - 隐零点问题
在解决导数问题中,常常会遇到导函数的零点客观存在,但不可解,然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系可以实现消元、换元以及降次等计算问题,最终达到解题的目的,这类问题就称为隐零点问题.
解题基本解决思路为:形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化,方法上分离参数,技巧上反客为主.
对应常用方法技巧及分析:
①虚设零点与整体代换相结合:一般地,通过虚设零点建立关于零点的超越式,再运用合理的代换和推理,谋求一种整体的转换和过渡,最终达到将超越式转化成普通式的目的;
②虚设零点与反客为主相结合:在遇到待解决的问题与参数无关时,一般不用参数表示虚设零点,而是用虚设零点表示参数,建立关于零点的函数关系,进一步利用导数解决问题;
③虚设零点与降次留参相结合:在解决有些求参数取值范围的问题时,通过虚设零点建立关于零点的含参的方程或不等式,结合题设其他条件,进一步在保留参数的前提下,不断地把零点的次数降低,化简方程或不等式,最终达到求参数的取值范围的目的.
解决函数隐零点步骤:
①确定零点存在的范围(常用零点存在定理、数形结合等方法确定);
②根据零点的意义进行代数式的替换;
③结合前两步,确定目标式的范围.
(2019·天津卷文) 设函数
,其中
.
(1)若
,讨论
的单调性;
(2)若
,
(i)证明
恰有两个零点;
(ii)设
为
的极值点,
为
的零点,且
,证明
.
解：(1)由已知,
的定义域为
,
且
,
因此当
时,
,从而
,
所以
在
内单调递增.
(2)(i)由(1)知,
,
令
,由
,可知
在
内单调递减,
又
,且
,
故
在
内有唯一解,
从而
在
内有唯一解,不妨设为
,
则
,当
时,
,
所以
在
内单调递增;
当
时,
,
所以
在
内单调递减,
因此
是
的唯一极值点.
令
,则当
时,
,故
在
内单调递减,
从而当
时,
,所以
,
从而
,
又因为
,所以
在
内有唯一零点,
又
在
内有唯一零点1,从而,
在
内恰有两个零点.
(ii)由题意,
,即
,
从而
,即
,
当
时,
,又
,故
,
两边取对数,得
,
于是
,整理得
.
1.设
是函数
,
的两个不等的极值点.
(1) 求
的取值范围;
(2) 证明:
.
2.设函数
,证明
.
3.(2013全国Ⅱ卷理改编)已知函数
,在
处的切线的倾斜角为锐角.
(1)求
的取值范围;
(2)证明:
.