【中考数学】基本模型——中点模型
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线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用
建立模型
模型一
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：
此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型二
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交.即“延长中线交平行”
此时，易证△BEF≌△CED
模型三
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：
由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型运用
例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
分析：本题的证明方法有很多，比如利用“双平等腰”模型等（前文已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这里主要讲一下平行线间夹中点的做法.根据平行四边形的性质可知，AB//CD，又点E是BC中点，构成了平行线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.
证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，即AB//DF
∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE
又∵点E是BC中点 ∴BE=CE
∴△ABE≌△FCE
∴CF=AB=CD，AE=FE
∴DF=2CD, 又∵AD=2CD
∴AD=DF,又因为点E是AF的中点
∴DE⊥AF
即∠AED=90°.
反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.
例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.
证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.
如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.
∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS)
∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD
因为△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°
∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点
∴AG=DG且AG⊥DG.
反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看
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(2)AG⊥DG，AG=√3DG
如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.
∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS)
∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD
因为△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°
∴△DAH是等边三角形，又∵点G是DH的中点
∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°
∴AG=√3DG
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（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG=EG，
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，
∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，
∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=α；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，
∴tan∠DAG=tan(α/2)，
∴DG=AGtan（α/2）．
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反思：在本题的证明中，我们结合题目中给出的平行线间夹中点这一条件，将DG进行延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采用倍长中线法进行证明.下面用倍长中线法对第一种情况加以证明.
证明：如图，延长AG至点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.
在△ABG和△HEG中
BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG
∴△ABG≌△HEG
∴AB=HE，∠ABG=∠HEG
∵AB=AC∴AC=HE
∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC
∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°
又∠ACD=180°-45°-90°=45°
∴∠ACD=∠HED
在△ACD和△HED中
AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE
∴△ACD≌△HED
DA=DH，∠ADC=∠HDE
∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC
即∠ADH=∠CDE=90°
所以△ADH是等腰直角三角形
又因为点G是AH的中点
所以DG=AG，DG⊥AG.
上面我们用倍长中线证明了第一种情况，请你对第二三问加以证明.
反思：在本题的证明过程中，容易犯的一个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.而这一结论是需要证明的.
小试身手
如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.
（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.
前两问较简单，请同学们自行完成，这里只给出第三问的几种解法，仅供大家参考.
解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.
因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHD
EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.
分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：
因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.
又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.
所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC
所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.
所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，
又因为点G是斜边EB的中点，
所以CG⊥GE且CG=GE.
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解法二：如图，延长CG至点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.
以下过程可参照解法一自行完成
解法三：延长FE至点P使得EP=EF，连接BP；延长DC至点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。FQ分别与DP，DB交于点N，M.如下图：
易知，△PBE和△DBQ都是等腰直角三角形.
根据SAS可证△PBD≌△FBQ.所以PD=FQ，∠PDB=∠FQB
又因为∠NMD=∠BMQ，所以∠DMN=∠MBQ=90°.
即PD⊥QF.
又因为点G和点C分别是DF和DQ的中点，即GC是△DFQ的中位线
所以GC=1/2FQ且GC//FQ.
同理EG=1/2DP且EG//DP
因为FQ=DP且FQ⊥DP
所以GC=EG且GC⊥EG.
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例4、如图，∠MON大小确定，点A、B、C分别在∠MON的边上，A，B是动点，点C是定点，且OA=BC.取OC的中点D，AB的中点E.求证：在AB运动的过程中，∠EDB的大小不变.
解法一：如图，连接AC，作AC的中点F，连接DF,EF.
DF是△AOC的中位线，所以DF//OA且DF=1/2OA
EF是△ABC的中位线，所以EF//BC且EF=1/2BC
因为OA=BC，所以DF=EF.
根据等边对等角可得，∠FDE=∠FED
由EF//BC得，∠FED=∠EDB，所以∠FDE=∠EDB
即∠EDB=1/2∠FDB
由FD//OA得，∠MON=∠FDB
所以∠EDB=1/2∠MON.
即∠EDB的大小不变.
解法二分析：根据题中的中点，可通过倍长中线.进而构造中位线.
解法二：如图，连接AD并延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，BG.
因为点D是OC中点，根据SAS易证△AOD≌△GCD.
所以∠AOD=∠GCD且OA=CG.
因为OA=BC，所以CG=CB.
所以∠CBG=∠CGB=1/2∠GCD.
又因为点E是AB的中点，所以DE是△ABG的中位线
所以DE//BG，所以∠EDB=∠CBG=1/2∠GCD
又因为∠AOD=∠GCD
所以∠EDB=1/2∠AOD=1/2∠MON.
解法三：如图，连接CE并延长CE至点H，使得EH=CE.
具体做法请同学们自行完成.
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反思：本专题我们主要探究了当题中出现中点的时候，通过倍长中线或构造中位线，将分散的条件集中起来，使问题得以解决.当然在运用的过程中，还需大家认真体会，不断总结.
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