2020巴尔干初中数学奥林匹克(JBMO)预选题 数论组 中文翻译

数论组

1.是否存在正整数, 使得 为素数?

2.求所有的正整数, 以及素数, 使得.

3.求最大的正整数(), 使得存在正整数 (), 满足对任意个连续的正整数, 一定可以从中选取个数,满足如下条件:
每个被选取的数都不是或者的倍数.
任意两个被选取的数的差都不是或者的倍数.

4.求所有的素数, 使得对任意正整数, 均有整除.

5.对给定正整数, 集合包含到中的正整数, 且对其中不存在互异的正整数 , , , 使得. 称中区间内的数为"小数", 区间内的数为"中数", 区间内的数为"大数". 以下结论是否成立?
不存在正整数, 使得 , , 与 被除的余数都为中的元素, 且其中, ,的余数互不相同, 且均为
(1)  小数 (2)中数 (3) 大数

6.是否存在正整数, 使得.

7.求证: 不存在素数, 使得的任意次幂均为回文数.
注: 若一个数从左往右读和从右往左读完全相同, 就称这个数为回文数. 显然的, 末尾为的数一定不是回文数.

8.求所有的素数, 使得

也为素数.