中考数学压轴题分析：二次函数与矩形的位置关系

函数题含参变得越来越普遍，本文内容选自2020年吉林中考数学压轴题。题目涉及矩形与抛物线的位置关系问题，产生了点坐标取值范围的讨论，题目比较少见，可以了解一下。

【中考真题】

（2020·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点，是直线上的一点，其纵坐标为．以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

【分析】
题（1）直接把点A的坐标代入，即可得到b的值。

题（2）需要先表示出Q与M的坐标，然后得到等量关系即可。

题（3）根据正方形的性质，得到邻边相等，得到m的值，再根据顶点坐标在正方形的内部，舍去不符合题意的m的值。

题（4）难度比较大，需要分类讨论。当点P位于l的左侧时，可以发现M必须在P的下方，才能满足题意。

当点P位于l的右侧时，点M必须位于点P的上方才满足题意。

因此可以得到点P的纵坐标与点N的纵坐标之间的关系，以及点P的横坐标与l的横坐标之间的关系，得到m的取值范围。
【答案】解：（1）把点代入，得到，
解得．

（2）抛物线的解析式为，
，
，重合，
，
解得或4．

（3），
抛物线的顶点坐标为，
由题意，且抛物线的顶点在该正方形内部，
且，得
解得或（不合题意舍弃），
．

（4）当点在直线的左边，点在点下方时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，

则有，
，
解得，
观察图象可知．当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图中，

当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意，
当时，点在点的上方，也满足条件，如图中，

综上所述，满足条件的的值为或．