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平行线的判定
【方法技巧】
1.两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.
2.同位角形如字母“F'(或倒置、反置);内错角形如字母“Z”(或反置);同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置).
3.三种角讲的都是位置关系,而不是大小关系,通常情况下,其大小是不确定的.
4.平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.
5.平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,更多内容见公众号:初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.
6. 已知角相等导角证平行;通过角的数量关系证平行;通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等、角平分线得等角.再整平行.
7.有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
题型一 三线八角
【典型例题1】
在∠1至∠8这8个角中,同位角、内错角、同旁内角各有几对,请分别写出来.1.在做这样的题时,要一个角一个角的找,必须细心;2.按照字母形状帮助识别同位角、内错角和同旁内角.内错角有4对:∠3和∠6,∠4和∠7,∠1和∠7,∠2和∠8;同旁内角有7对:∠1和∠8,∠2和∠3,∠2和∠7,∠3和∠7,∠4和∠5,∠4和∠6,∠5和∠6.在平面内,有下列说法: ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ③平行于同一直线的两余直线互相平行; ④垂直于同一直线的两条直线互相理直.其中正确的有( )个.【答案解析】语句①、③显然正确,②中只有经过直线外一点才能作直线与这条直线平行,④中垂直于同-直线的两直线应该互相平行.所以选B.一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是( )【答案解析】“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.根据同位角相等,两直线平行,得A正确.
【典型例题4】难度★★★
如图,有一条直的等宽纸带,沿AB折叠后在点C处两边夹角为30º, 求∠α的度数.【解题思路】更多内容见公众号:初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.折叠类题目最关键的是找到折叠前和折叠后相等的相关角.如本题中的∠ABD=∠ABC=∠α,∠EAB=∠FAB=α+30º.详见答案解析.【答案解析】方法1如果将纸带展开,∠a与∠ABC(即∠ABD)是两平行直线被直线AB所截得的内错角,所以△ABC中.方法2因为AF∥BC,所以∠FAC=30(两直线平行,同位角相等).由题意,∠EAB=∠FAB=a+30°,而∠EAB+∠CAB=a+30°+a=180°,可得a=75°.已知AB//CD,点M.N分别在AB、CD上.(1)AB,CD间有一点E,点E在直线MN左侧,如图(a)(2)当AB、CD间的点E在直线MN右侧时,如图(b)∠AME, ∠CNE, ∠MEN 之间有什么关系?(3)如图(c),当点E在AB、CD外侧时,探索∠AME 、 ∠CNE、 ∠MEN之间有何关系?【解题思路】根据平行公理,做辅助线EF∥AB是解决本题的关键.本题的解法较多,如下图(a)、(b)中,可以延长ME(NE)和CD(AB)相交,过点M(N)作EN(EM)的平行线;图(c)中,可以作直线MN等.都能应用平行线的性质(也可以应用三角形的内角和定理)得到证明,且能够相互转化.【答案解析】(1)过点E作EF∥AB(经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行),所以∠AME=∠MEF.因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行),∠CNE=∠NEF(两直线平行,内错角相等)(2)过点E作EF∥AB(经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行),所以∠AME+MEF=180°因为EF∥AB,AB∥CD.所以EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).所以∠NEF+∠CNE=180°(两直线平行,同旁内角互补),∠AME+∠MEF+∠NEF+∠CNE=360°,所以∠AME+∠CNE=360°-∠MEN(3)过点E作EF∥AB(经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行),所以∠AME=∠MEF(两直线平行,内错角相等).因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).所以∠CNE=∠NEF(两直线平行,内错角相等).∠AME=∠CNE+∠MEN.注:关注本号并回复“初中数学解题思路”即可免费领取“初中数学知识点汇总及中考数学复习辅导讲义Word+PDF版”一套.