二次函数的动点问题 / 开普饭

1如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴

交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：① CB=CE；② D是BE的中点；

（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

分析 (1)由点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,可求得m的值及点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;

(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,

过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E作EH∥x轴，交y轴于H，由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；

(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.

（1）求点B和点C的坐标；

（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

3、如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

4、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

（2）设P点运动时间为t（秒）。

①当t＝5时，求出点P的坐标；

②若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

二次函数的动点问题