【七下期中】 四大类8小题 突破初一几何难关
写在前面
下周就是期中考试了，不知这个周末的你，复习的如何了，上一讲【七下期中】3大类6小题 突破代数难关，我们用6道题，概括了上半学期的代数难题，本讲，我们专门攻克几何难题．
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一、逆向思考与多解问题
例1
在一个六边形的内角中，最多有_______个锐角．
解析：
由于多边形的外角和是360°，是不变的，所以可以借助外角来分析．可知四个钝角的和大于360°，所以最多只有3个钝角作外角，而每个内角与其相邻的外角是邻补角，则内角中，最多有3个锐角．
例2
已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分別是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B，C均不与点O重合），连接AC交射线OE于点D，设∠OAC＝x°，
(1)如图①，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是_________；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝_________；
当∠BAD＝∠BDA时，x＝_________；
(2)如图②，若AB⊥OM，是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
图① 图②
解析：
(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°．
∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°．
②∵AB∥ON，∴∠MON＋∠OAB＝180°，
∴∠OAB＝140°，
∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，
∠OAC＝∠OAB－∠BAD ＝120°．
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，∠OAC ＝∠OAB－∠BAD ＝60°．
故答案为：①20 ②120，60
(2)存在
二、模型全覆盖
例1
(1)如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝32°，∠ABC＝30°，求∠E的大小．
(2)如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠D，∠B之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
图① 图②
解析：
(1)由题意得，
∠D＋∠1＝∠E＋∠3＝∠5①，
∠E＋∠2＝∠B＋∠4＝∠6②，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①－②得，∠D－∠E＝∠E－∠B，
2∠E＝∠D＋∠B＝62°，∠E＝31°．
(2) 由题意得，
∠E＋∠2＝∠B＋∠3①，
延长BC交AD于F，
∠BCD＝∠1＋∠2＝∠D＋∠5，
∠5＝∠B＋∠BAF，
∴∠1＋∠2＝∠D＋∠B＋∠3＋∠4②，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①×2得，2∠E＋2∠2＝2∠B＋2∠3③，
③－②得，2∠E＝∠B－∠D．
例2
如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上，且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．
(1)直接写出三角形BCD的面积．
(2)如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．
(3)如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中，∠H:∠ABC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
图① 图② 图③
解析：
tips
本学期基本模型有平行线拐角模型，规形图模型，八字形模型，三角形内外角平分线模型，翻折模型等，基本都能借助外角来证明．
三、旋转问题
例1
如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，
(1)边CD所在直线恰好与边AB所在直线平行，则t的值为_______．
(2)边CD所在直线恰好与边AB所在直线垂直，则t的值为_______．
解析：
(1)①设CD延长线⊥A'B'于E，
∵∠B'＝50°，∠C＝60°，∠CEB'＝90°，
∴∠COB'＝360°－60°－50°－90°＝160°，
∴∠BOB'＝20°，即20t＝20，t＝1；
②设DC延长线⊥A'B'于F，交B'O于G，
∵∠B'＝50°，∴∠B'GF＝∠CGO＝40°，
∠COB'＝∠DCO－∠CGO＝20°，
∴∠BOC＋∠COB'＝180°＋20°＝200°，
即20t＝200，t＝10；
(2)①设CD交OB'于E，则∠1＝∠B'＝50°，
∠BOB'＝∠C＋∠1＝110°，
即20t＝110，t＝5.5；
②设B'A'交OB于F，则∠2＝∠C＝60°，
∠BOB'＝180°－∠2－∠B'＝70°，
∴∠BOC＋∠COB'＝360°－70°＝290°，
即20t＝290，t＝14.5；
例2
如图(1)，直角△ABC与直角△BCD中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，固定△BCD，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一个大小为α的角(0＜α＜180°)得到△ACB'．
(1)在旋转过程中，当B'C⊥BD时，α＝_________．
(2)如图(2)，旋转过程中，若边AB'与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接AD，设∠DAB'＝x，∠BCB'＝y，∠ADB＝z，试探究x＋y＋z的值是否发生变化，若不变请求出这个值，若变化，请说明理由．
(3)在旋转过程中，当AB'与△BCD的边平行时，直接写出α的度数．
解析：
(1)设B'C⊥BD于G，∵∠B＝45°，∠CGB＝90°，∴∠BCB'＝45°，α＝45°．
(2)在△ADF中，x＋z＝∠1，
在△CGB中，y＋∠B＝∠2，
∴x＋y＋z＋∠B＋∠B'＝∠1＋∠2＋∠B'＝180°，
∴x＋y＋z＝180°－∠B－∠B'＝75°．
(3)
①AB'∥CD，∴∠1＝∠B'＝60°，
∠BCB'＝30°，α＝30°．
②AB'∥BD，∴∠1＝∠B'＝60°，
∠BCB'＝180°－60°－45°＝75°，α＝75°．
③AB'∥BC，∴∠BCB'＋∠B'＝180°，
∠BCB'＝120°，α＝120°．
tips
(1)遇到旋转问题，我们可以使用神器，透明垫板，
方法详见《联盟荐文：|助考神器! 透明垫板在中考解题中的妙用！》．
(2)旋转问题的两解之间，通常相差了180°．
四、操作类面积问题
例1
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，请找出所有的格点Q，使S△ACQ＝S△ABC．
解析：
①以AC为公共底，则过点B作AC的平行线即可．
②以AC为中线，延长BC到Q，使QC＝BC，再过点Q作AC的平行线即可．
两条平行线与网格相交的格点即为所求．
更多内容，详见本公众号2017.5.1开篇之作
例2
我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：
(1)如图① ，在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由；
(2)如图②，AE为四边形ABCD一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．
图① 图②
解析：