[离散时间信号处理学习笔记] 11. 连续时间信号的采样与重构

这一节主要讨论采样定理，在《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中有进行过推导与讲解，因此下面的内容也大同小异。不过如果是从《离散时间信号处理》这一本书的内容开始学习到这一节，则应先学习本文内容所需要的一些前置知识：傅里叶变换（连续时间），主要用到的是脉冲函数δ，以及周期脉冲函数Ш的傅里叶变换与相关性质。

比较重要的一点就是，本书采用的傅里叶变换是基于信号周期为2π的假设，而《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中的假设为1，因此本书所采用的傅里叶变换公式有必要列出：

傅里叶变换：

F(jΩ)=∫∞−∞f(t)e−jΩtdt

傅里叶逆变换：

f(t)=12π∫∞−∞F(jΩ)ejΩtdΩ

此外，本文所用到的傅里叶变换卷积定理也有所不同：

F(f⋅g)F(f∗g)=12πF∗G=F⋅GF−1(F∗G)F−1(F⋅G)=2πf⋅g=f∗g

把前面的傅里叶变换公式代入容易证明上述卷积定理。

周期采样

假设有连续信号xc(t)，我们需要通过对该信号进行采样才能得到离散信号，即样本序列x[n]。连续信号与离散信号有以下关系：

x[n]=xc(nT),–∞<n<∞

其中，T为采样周期（sampling period），它的倒数fs=1T为采样频率（sampling frequency），即每秒的样本数。不过本书是用弧度/秒来表示频率，因此采样频率的是Ωs=2πT。这两种不同的采样频率表示方法是依赖于傅里叶变换的假设，一般分为周期为1以及2π两种假设。

数学上是通过下面的式子来表示对连续信号的采样：

xs(t)=xc(t)∑n=−∞∞δ(t−nT)sampling function s(t)=ШT

其中的周期脉冲函数ШT就是周期为T的脉冲函数。利用脉冲函数δ的采样性质就能采集到一个函数相应位置的值。因此可以得到

xs(t)=∑n=−∞∞xc(nT)δ(t−nT)

需要明确的一点是：xs(t)是一个连续时间函数，取样点上的是脉冲，除了取样点之外的值为0；而x[n]是一个离散时间序列。

奈奎斯特采样定理

为了方便阅读，下面先列出了各个符号及其含义

Symbol	FT	DTFT	Info
xc(t)	Xc(jΩ)	-	连续时间信号
x[n]	-	X(ejω)	离散时间信号
s(t)	S(jΩ)	-	周期脉冲函数、即采样函数
xs(t)	Xs(jΩ)	-	信号周期采样的数学表示
ΩN	-	-	奈奎斯特频率，也就是带限信号的受限频率
Ωs	-	-	采样频率
T	-	-	采样周期
hr(t)	Hr(jΩ)	-	连续时间低通滤波器

 

周期脉冲函数s(t)=ШT的傅里叶变换仍然是一个周期脉冲函数（推导过程）

S(jΩ)=2πTШ2πT

那么根据傅里叶变换的卷积定理，可以得到xs(t)的傅里叶变换如下

Xs(jΩ)=12πXc(jΩ)∗S(jΩ)=12πXc(jΩ)∗2πTШ2πT=1TXc∗Ш2πT

而脉冲函数的卷积又具有移位特性，那么Xs(jΩ)就相当于无数个经过移位的1TXc(jΩ)的叠加。这种叠加能分为两种情况

• 如果原函数的傅里叶变换Xc(jΩ)的频率受限于Ωs2=πT(Ωs=2πT)，那么Xc(Ω)经过移位后不会重叠。

• 否则原函数的傅里叶变换在经过移位后会重叠，这种情况被称为混叠（alias）。

如上面的四张图描述的是信号的频域。图1是一个频率受限于(−ΩN,ΩN)的信号，图2是一个在频域上周期为Ωs的周期脉冲函数（从时域上看，该信号的频率为Ωs），当信号与周期脉冲函数进行卷积后可以得到图3或者图4。

对于非混叠的频谱，我们能很容易地使用一个经过T加权（乘以T）的低通滤波器来得到原本的频谱，也就是说能通过该频谱还原原本的信号；不过对于混叠的频谱，采用低通滤波器得到的就不是原本的频谱，也就无法得到原本的信号了。

这意味着，对带限为ΩN的信号进行采样，如果希望用采样后的样本恢复成原来的信号，那么采用频率Ωs必须满足Ωs⩾2ΩN。这就是奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）。其中ΩN被称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency），2ΩN被称为奈奎斯特率（Nyquist rate）。

 

由样本重构带限信号

按照上面的讨论，如果我们按照奈奎斯特采样定理对带限信号进行采样，那么就能用所得的样本重构原带限信号。

在上一小节的最后，我们可以看到如果我们遵循奈奎斯特采样定理，则能通过低通滤波器得到原信号的频谱，有了这个频谱，我们进行傅里叶逆变换则能得到原始信号，有以下推导过程：

xc(t)=F−1(Xs(jΩ)Hr(jΩ))Hr(jΩ)={T,0,|Ω|⩽Ωs/2=πTelse=xs(t)∗hr(t)fourier convolution theorem={∑n=−∞∞x[n]δ(t−nT)}∗{sin(πt/T)πt/T}=∑n=−∞∞x[n]{δ(t−nT)∗sin(πt/T)πt/T}x[n] is sample value,constant=∑n=−∞∞x[n]sin[π(t−nT)/T]π(t−nT)/Tδ shift property

因此，我们可以通过对采样x[n]进行上述运算以得到原始信号。

上面的式子可以分为两部分，一部分为采样值x[n]，另一部分为sinc函数，这个sinc函数就是低通滤波函数的时域模式，如下图是一个为sin(πx/T)πx/T的sinc函数。

因此奈奎斯特采样定理也能这么理解：如果要采样的信号受限于(−ΩN,ΩN)，在采样频率Ωs满足Ωs⩾2ΩN的前提下，采样得到的值为x[n]，通过对低通滤波器对应的sinc函数进行平移以及加权（乘以x[n]），然后把经过调整后的sinc函数进行叠加，即可得到原来的信号。

对照上面两幅图以及sinc函数的曲线，容易看出该函数在±T,±2T,±3T⋅⋅⋅处的值都为0，而零点处的值为1，正是这个特点使得sinc函数的峰值就是采样点上的值。