面积计算（二十八）

勾股定理，一个伟大的定理。

在无数个关于最重要的数学公式（定理）的排行榜中都有它的一席之地。

简洁，明了。

据说，到目前为止，关于勾股定理一共有400多种证法，甚至连美国第17任总统加菲尔德也给出过一种证明方法。四十多年前刚恢复高考的时候，还曾经把勾股定理的证明放到高考数学的试题中去，当年还难道过一大片考生。

在西方，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理。从名字上就可以知道，在欧洲，这个定理最早是由毕达哥拉斯发现的。毕达哥拉斯发现了这个定理之后过于兴奋，直接就宰了一百头牛大宴宾客，所以又叫百牛定理。这个定理还有个很牛逼的后果就是直接导致了无理数被发现，由此还引发了一场血案，由于本书的空白处太少写不下，有兴趣的可以网上搜一下。

言归正传，我们来看看勾股定理的内容：

已知直角三角形三边为a，b，c，其中a，b为直角边，则

我们就挑一种最通俗易懂的证明方法来证一下。

如图所示，把四个全等的直角三角形拼成一个正方形，则大正方形的面积等于四个直角三角形和里面小正方形的面积和，于是：

移项即得定理。

是不是很简洁？

这个定理在平面几何中有着非常广泛的应用，接下来我们就来看看在求面积的问题中它能发挥什么作用。为了方便，对于直角三角形我们简写做Rt△，今后不再说明。

例：已知在等腰Rt△ABC中，斜边AB上有点D，已知CD=7，BD-AD=4，求△ABC的面积。

如果我们已经知道了有勾股定理这个工具，那我该如何判断这个题目是否用勾股定理来做呢？

首先当然看有没有直角，如果题目中一个直角都没有，那么确实很难想到用勾股定理，本题中有直角，所以勾股定理可以用——但这并不是首先想到的。

题目要求的是△ABC的面积，而且是等腰直角三角形，所以我们只要知道一条直角边这个题目就做完了，因此最容易想到的思路应该是求AC或者BC的长度。

对小学生来说，没有三角的工具，这个看来很难做到——否则的话余弦定理一下子就能把所有的线段都算得明明白白的。

既然此路不通，那么只剩下求斜边AB以及AB边上的高这一条路了，对不对？

此时我们仍然没有想到用勾股定理的话也是正常的，只是这个时候应该要想到过C作CH垂直于AB，很显然，如果我们再拼一个一模一样的等腰直角三角形上去构成一个正方形，可以看出CH恰好是一条对角线的一半——也就是AB的一半，因此求出CH题目就做完了。

此时BD-AD=4，显然DH=(BD-AD)/2=2，所以

问题来了，小学生开根号没学过怎么办？

肯定有绕开的办法啊！比起无法算出AC和BC的长度来说，能算出斜边上高的平方已经是个不小的收获了！我们注意到AB=2CH，而△ABC的面积等于1/2×AB×CH=1/2 ×2CH×CH，于是我们得到最后的结果就是45。

等等，勾股定理怎么不知不觉就用出来了？

很正常啊，找思路，一定是找最自然的那条路。一组底和高不能用，就换一组，换完了以后发现已知线段长度都能用的上，那不就做完了？