初二奥数精讲——第4讲 因式分解的应用(二)
本讲适用于初二、初三,因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目,所以只要有课堂上基本的知识储备,都可以一起来学习,相信对你的奥数、数学思维,解题思路都大有裨益。
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一、知识点解析
因式分解的应用是非常广泛的,它主要有以下几个方面:
求值问题:对于多项式的求值,如果知道某个整体的值,,则可在多项式中分离出整体(因式),然后将整体的值代入;对于分式的求值问题,可将分子分母分别分解,然后约去相同的因式,使分式化简,然后再求值。
证明条件等式:在给定约数条件下,证明某等式恒成立,常可对条件等式中的多项式进行因式分解,使条件得到简化,进而推出有关结论。
整除问题:要证明某个数(式子)整除一个多项式,可将数(式子)和多项式分别分解,然后证明多项式的每一个因式被一个对应的数(式子)整除。
质数与合数问题:要证明一个多项式的值是合数,只须将多项式分解因式,然后证明每一个因式的值都是大于1的整数。
不定方程问题:将方程中含有的多项式因式分解,然后判别各因式取值的奇偶性,使问题获解。
完全平方数问题:要证明一个多项式的值是完全平方数,可将多项式因式分解,然后证明多项式的每一个因式都是完全平方数。
这部分主要考察学生的对因式分解应用的了解及掌握,这部分是因式分解综合应用。题型多样,题目复杂,要学好解题知识和技巧,才能保证在因式分解的应用方面的学习上超过别人,让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
分析:因为120=5×3×23,我们希望目标式的因式分别被5、3、8整除,但这是不可能的,因为n是任意正整数,再注意到5、3、8两两互质,所以只须证明目标式同时被5、3、8整除。这就要将
分拆出一个常数(5的倍数),而另一部分可以分解成两个多项式(其差为1)的积。
解答:
例2
设n是正整数,证明:
是57的倍数。
分析:想直接证明很有难度,但可另辟蹊径,先将目标式分解,使其中一部分含有系数57,而另一部分可被57整除。
解答:
例3
设整数a、b、a-b都不是3的倍数,证明:
是9的倍数。
例4
例5
设a、b、c是实数,a+b+c=2,
,证明:a、b、c中至少有一个等于2.
如果你能够在不看答案的情况下就很顺利解决这些问题,那么说明你因式分解的应用的掌握已经很透彻,这样的话可以加微信号miaomiao-asd,有更多有意思有深度的题目和讲解可以提供,还可享受一对一线上咨询辅导。关注抖音号“ 数学奥数思维拓展”-1059021292,观看更新的相关视频讲解。