限制角条件的“三角”问题考向透视 / 开普饭

安徽省太湖中学(246400) 李昭平

三角形是一种重要的数学模型,边角中的定量和定性关系,边角中遵循的正余弦定理和面积公式,以及边角与向量之间的联系等等,为处理“三角”问题提供了条件.近年来,高考和模考中出现了不少限制角条件的“三角”问题,比如锐角三角形、钝角三角形、三内角成等差数列、三边成等比数列、某些角之间的特殊关系、图形中隐含的角的条件等等,使得试题的结构更加新颖、更加活泼、更加全面,有效考查了学生思维的缜密性、严谨性、深刻性和灵活性.下面结合部分典型试题,透视对这类“三角”问题的考向,供参考.

考向1 比较大小

例1 (2019年合肥市高三段考题)已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调减函数,又α,β为锐角三角形的两个内角,则( ).

A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ)

C.f(sinα)<f(cosβ) D.f(sinα)>f(cosβ)

解析因为α,β为锐角三角形的两个内角,所以

为锐角,所以

即1>sinα >cosβ >0.由于奇函数f(x)在[−1,0]上为单调减函数,因此f(x)在[0,1]上也为单调减函数,于是f(sinα)<f(cosβ).故选C.

评注本题中角的限制条件是“α,β为锐角三角形的两个内角”,利用

并结合函数的单调性处理.注意:若∆ABC是锐角三角形,则

且

考向2 求最值

例2 (2018年青岛市联考题)在∆ABC中,

则tanAtanB的最大值是____.

解析因为

所以

即1−tanAtanB= tanA+tanB.因为tanA >0,tanB >0,所以

即

令

则

即

所以

当且仅当

时等号成立.故tanAtanB的最大值为

评注本题中角的限制条件是

,利用正切公式

展开,并结合基本不等式

处理.易证:在∆ABC中,若

,则(1+tanA)(1+tanB)=2.

考向3 判定三角形的形状

例3 (2020年南通市联考题)在∆ABC中,三内角A,B,C成等差数列,且sin2B=sinA·sinC,则∆ABC是( )

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.腰和底边不等的等腰三角形 D.等边三角形

解析因为A、B、C成等差数列,所以2B=A+C,

而sin2B= sinA ·sinC,所以b2 =ac,即

解得a=c.因此∆ABC是等边三角形.故选D.

评注本题中角的限制条件是“A、B、C成等差数列”,是三角与数列的交汇题.注意:三内角A、B、C成等差数列

三边a,b,c成等比数列.

考向4 求三角形边的范围

例4 (2020年安徽A10 联盟联考题)在锐角∆ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)若4ccosB+4bcosC=ab,求边a的取值范围.

解析 (Ⅰ)由

得

因为

所以

而

所以

即B+C= 5A,因此

(Ⅱ)4ccosB+4bcosC=ab就是

化简整理得4a=ab,所以b= 4.由

得,

由

和

得到,

因此

故边a的取值范围是

评注本题中角的限制条件是“∆ABC是锐角三角形”,先确定角A和边b,再建立边a关于角B的目标函数,由锐角三角形条件确定角B的范围是解题的关键.易错在只考虑角B是锐角,而忽视角C也是锐角,即角B必须同时满足

考向5 求三角形的高

例5 (2018年安庆市二模题)若锐角三角形ABC的三个内角分别为A,B,C,满足

且∆ABC的面积是

求AB边上的高.

解析因为

所以

于是tanA=2 tanB.又

即

所以2tan2B −4 tanB −1 = 0,解得

或

因为角B是锐角,所以tanB >0.取

设边AB上的高为h,则

于是

解得

评注本题中角的限制条件是“∆ABC是锐角三角形”,先确定tanB的值,需要用锐角三角形条件进行取舍.再利用高所在的两个直角三角形构建方程,实现解题目标.

考向6 求三角函数式的范围

例6 (2019年皖江联盟联考题改编)在钝角∆ABC中,三内角A,B,C成等差数列,且a>c,试求

的取值范围.

解析因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,B=

于是

由

和

得,

于是

故

的取值范围是

评注本题中角的限制条件是“∆ABC是钝角三角形”,将

化为关于角A的一元函数,由钝角三角形条件确定角A的范围是解题的关键.易错在只考虑角A是钝角

而忽视条件

其实角A必须同时满足

和

,得到

考向7 求三角形面积的范围

例7 (2019年高考全国Ⅲ卷理科题改编)在锐角∆ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sinA −sinC)2 =sin2B −(2−

)sinA·sinC.

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)若

求∆ABC面积的取值范围.

解析 (Ⅰ)条件

就是

即a2+c2−b2 =

于是

而

所以

(Ⅱ)由

得,acosB+bcosA=

即

解得c=

于是

由

和

得到,

于是

故∆ABC面积的取值范围是

评注本题中角的限制条件是“∆ABC是锐角三角形”,建立面积关于角C的目标函数,由锐角三角形条件确定角C的范围是解题的关键.易错在只考虑角C是锐角,而忽视角A也是锐角,即角C必须同时满足

和

本题有一定的综合性和难度,要加大思考和训练的力度.

考向8 求三角函数解析式

例8 (2015年高考全国Ⅰ卷理科题改编)在平面四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C= 75°,BC= 2.设∠BAC=θ,AB=f(θ),求函数f(θ)的表达式,并求其值域.

解析在∆ABC中,∠BCA=180°−75°−θ=105°−θ,

即

2 cos 75°.因为0°<∠BCA <75°,所以0°<105°−θ <75°,解得30°<θ <105°.而0°< θ <75°,因此30°< θ <75°.于是tan 30°<tanθ <tan 75°,

因此

即

故f(θ)的值域是

评注本题中角的限制条件是“0°<∠BAC <75°,0°<∠BCA <75°”,虽然以平面四边形为载体,但其实质还是转化为解三角形问题.在以图形为载体的“三角”问题中,要关注角的某些限制,忽视了这一点往往致误.本题如果只注意到0°< θ <75°,而忽视∠BCA的限制范围,则扩大了角θ的取值范围,会得到f(θ)的值域是

的错误答案.

以上介绍了限制角条件的“三角”问题八大考向.不难看出,这类问题的核心仍然是三角恒等变换、角的变换、正余弦定理及其变式.熟记公式、灵活变式、角化边、边化角、构建方程、直观图形、运算能力等等,是顺利解题的要素,特别要重视“角条件”的运用和发掘,否则极易出现错误.

限制角条件的“三角”问题考向透视